【java】最小生成树

本文介绍了如何解决岛屿间建立电缆连接以实现互联网接入的问题,重点讲解了Kruskal算法和Prim算法在构建无向图最小生成树上的应用。这两种算法都遵循贪心策略,但各有特点:Kruskal按边权值排序并避免形成环路,Prim则从任意顶点开始逐步扩大最小生成树。此外,还提到了Prim算法与Dijkstra算法的异同。

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航海家们在太平洋上发现了几座新岛屿,其中最大的一个岛已经连接到Internet,但是其它岛和主岛之间没有电缆连接,所以无法入网。我们的目的是让所有岛上的居民都能上网,即每个岛和主岛之间都有直接或间接的电缆连接。输入每两个岛屿之间的连接成本,要求给出最节省成本的方案。


先输入点的数量n,边的数量m,然后输入m行数据,每行数据包括起点u,终点v,成本weight,最后输出最优方案所选的边;

样例输入:

7 11
0 1 7
0 3 5
1 2 8
1 3 9
1 4 7
2 4 5
3 4 15
3 5 6
4 5 8
4 6 9
5 6 11

样例输出:

0 3 5
2 4 5
3 5 6
0 1 7
1 4 7
4 6 9

分析:本题的本质是无向图求最小生成树MST(Minimal Spanning Tree)。构造最小生成树的方法有很多,常见的有两个:Kruskal算法和Prim算法。

Kruskal算法

算法的第一步是把所有的边按权值从小到大排序,接下来依次遍历每条边(u,v),分两种情况:

情况1:最小生成树中已经包含u和v,则跳过;

情况2:最小生成树不包含u或v,则加入该边。

性质:如果(u,v)的权值是所有边中最小的,则最小生成树一定包含该边。可用

### Java 实现最小生成树算法示例 #### 1. 最小生成树简介 最小生成树(Minimum Spanning Tree, MST)是在一个连通图中找到一棵包含所有顶点的子树,使得这棵树上的边权值之和最小。常见的求解MST的算法有两种:Kruskal算法和Prim算法[^3]。 #### 2. Kruskal算法实现 Kruskal算法的核心思想是对图中的所有边按照权重从小到大排序,依次选择权重较小的边加入结果集中,同时确保不会形成环。为了高效判断是否成环,通常会使用并查集(Union-Find Set)辅助实现。 下面是基于Java语言的Kruskal算法实现: ```java import java.util.*; class Edge implements Comparable<Edge> { int src; int dest; int weight; public Edge(int src, int dest, int weight) { this.src = src; this.dest = dest; this.weight = weight; } @Override public int compareTo(Edge other) { return Integer.compare(this.weight, other.weight); } } class Graph { private final int vertices; private final List<Edge> edges; public Graph(int vertices) { this.vertices = vertices; this.edges = new ArrayList<>(); } public void addEdge(int src, int dest, int weight) { edges.add(new Edge(src, dest, weight)); } public List<Edge> kruskalMST() { Collections.sort(edges); DisjointSet disjointSet = new DisjointSet(vertices); List<Edge> result = new ArrayList<>(); for (Edge edge : edges) { int rootSrc = disjointSet.find(edge.src); int rootDest = disjointSet.find(edge.dest); if (rootSrc != rootDest) { result.add(edge); disjointSet.union(rootSrc, rootDest); } } return result; } } class DisjointSet { private final int[] parent; private final int[] rank; public DisjointSet(int size) { parent = new int[size]; rank = new int[size]; for (int i = 0; i < size; ++i) { parent[i] = i; } } public int find(int node) { if (parent[node] != node) { parent[node] = find(parent[node]); } return parent[node]; } public void union(int u, int v) { int rootU = find(u); int rootV = find(v); if (rank[rootU] < rank[rootV]) { parent[rootU] = rootV; } else if (rank[rootU] > rank[rootV]) { parent[rootV] = rootU; } else { parent[rootV] = rootU; rank[rootU]++; } } } ``` 以上代码展示了如何通过Kruskal算法计算给定图的最小生成树[^4]。 #### 3. Prim算法实现 Prim算法则从某个起始顶点出发,逐步扩展已经选中的顶点集合,每次都选择连接当前集合与其他未选定点之间最短的一条边。下面是一个基于优先队列(PriorityQueue)优化后的Prim算法实现: ```java import java.util.*; import java.lang.*; class Pair<K extends Comparable
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