最优传输及其在公平中的应用

最佳运输起源于经济学，是作为一种如何最好地分配资源的工具而开发的。最佳运输理论本身的起源可以追溯到 1781 年，当时 Gaspard Monge 研究了最有效的土方运输方式，以便为拿破仑的军队建造防御工事。概括地说，最佳运输是一个问题，即如何将所有资源（例如铁）从起点集合（铁矿）移动到终点集合（铁工厂），同时最小化资源的总距离不得不去旅行。从数学上讲，我们想要找到一个函数，它获取每个起点并将其映射到目的地，同时最小化起点与其相应目的地之间的总距离。尽管它的描述无伤大雅，但在这个问题的原始表述上取得了进展， 

解决问题的第一次真正飞跃发生在 1940 年代，当时苏联数学家列昂尼德·康托罗维奇 (Leonid Kantorovich) 将问题的表述调整为现代版本，即现在所说的 Monge-Kantorovich 表述。这里的新颖之处在于允许来自同一个矿山的一些铁被送到不同的工厂。例如，一个矿山的 60% 的铁可以送到一家工厂，而该矿山剩下的 40% 的铁可以送到另一家工厂。从数学上讲，这不再是一个函数，因为同一个起点现在可能映射到许多目的地。相反，这被称为 联轴器 始发地分布和目的地分布之间的关系如下图所示；从蓝色分布（原点）中挑选一个矿井并沿图中垂直移动显示了该铁被发送到的工厂（目的地）的分布。 

 
图表、直方图、散点图描述自动生成 

作为这一新发展的一部分，Kantorivich 引入了一个重要的概念，称为 Wasserstein 距离。与地图上两点之间的距离类似，Wasserstein 距离（也称为推土机距离，受其原始上下文启发）测量两个分布之间的距离，例如本例中的蓝色和品红色分布。例如，如果所有的铁矿都离所有的铁工厂都很远，那么矿山分布（位置）与工厂分布之间的 Wasserstein 距离就会非常大。即使有了这些新的改进，仍然不清楚是否真的存在一种最好的资源运输方式，更不用说那种方式了。最后，在 1990 年代，由于数学分析和优化的改进导致问题的部分解决方案，该理论开始迅速发展。也是在这个时候和进入 21 世纪，最优传输开始渗透到其他领域，例如粒子物理学、流体动力学，甚至统计学和机器学习。 

现代最优交通 
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