从Rn到Rm映射的微分(向量函数的微分)

最新推荐文章于 2024-04-01 17:22:19 发布

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#向量函数 #映射的微分 #向量函数的微分

本文介绍了从RN到RM映射的微分概念，包括一元函数微分的回顾和多元函数微分的定义。通过定理证明了可微性与线性变换的关系，并给出了偏微分和若尔当矩阵的表达形式。

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从 $RN\mathbb{R}^{N}$ 到 $RM\mathbb{R}^{M}$ 映射的微分(向量函数的微分)

国内的数学分析教材(就我所知)基本上不讲向量函数的微分，就更不用指望高等代数里有了，但是国外的数学分析或者微积分里却常常会提到这一部分

回顾一元函数微分

Definition 1 称 $\rightarrow \mathbb{R}$ 在点 $x0∈(a,b)x_{0} \in(a, b)$ 处可微，若对于任意充分小的 $h > 0$ , $x0+h∈(a,b),x_{0}+h \in(a, b),$ 极限
$\frac{d f}{d x}\left(x_{0}\right)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)}{h}\tag{1}$
存在。

上述公式(1)还可以改写为：
$\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{ | f(x)-f\left(x_{0}\right)-f^{\prime}\left(x_{0}\right) )\left(x-x_{0}\right) |}{\left|x-x_{0}\right|}=0\tag{2}$

从 $RN\mathbb{R}^{N}$ 到 $RM\mathbb{R}^{M}$ 映射的微分

Definition 2 称映射 $\mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m}$ 在点 $x∈Ax\in A$ 处可导，若存在一个线性变换 $\mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m}$ ,并且称 $f$ 在点 $x_0$ 处可微，若 $D f (x)$ 满足:
$\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{\left\|f(x)-f\left(x_{0}\right)-D f\left(x_{0}\right) \cdot\left(x-x_{0}\right)\right\|}{\left\|x-x_{0}\right\|}=0\tag{3}$