一个大数拆成两个素数相乘

/************************************************************************/
/* 题目:将数字65535分解成若干个素数之积                                                                     
/************************************************************************/
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

bool isPrime(long m);

int main()
{
	long i;
    long digit = 65535;
    long s = 1;
   
	cout << "65535 = ";
	for (i = 2; i <= digit / 2; i++)
	{
		if (isPrime(i) && digit % i == 0)
		{
			s *= i;
			if (digit / s != 1)
                cout << i << " * ";
			else
				cout << i << endl;
		}

	}
	system("pause");
	return 0;
}

//功能:判断素数
bool isPrime(long m)
{
	int i = 0;

	for (i = 2; i <= sqrt(m); i++)
	{
		if (m % i == 0)
			return false;
	}
	return true;
}

<think> 我们已知蒙哥马利乘法的原理,以及它在模约减中的应用。根据引用[1]和[2]的内容,蒙哥马利算法通过将数转换为蒙哥马利形式(即乘以一个常数ρ)来避免除法,从而实现高效的模乘运算。关键步骤是蒙哥马利约减(REDC),它使用预计算的参数(如R2和N_inv)来转换数字。 我们将用C++实现蒙哥马利乘法算法,包括以下步骤: 1. 选择参数:通常选择一个基数R(R=2^k,且满足R>N,gcd(R,N)=1)。在实际实现中,R是一个2的幂,与机器字长相关。 2. 预计算:计算R2 = R^2 mod N 和 N_inv(满足条件:R * R_inv - N * N_inv = 1,这里我们使用-N_inv,即蒙哥马利约减中使用的参数)。 3. 实现蒙哥马利约减函数(REDC):输入一个T(范围在[0, RN)),输出T * R^{-1} mod N。 4. 实现将普通整数转换为蒙哥马利形式(即乘以R mod N)的函数,以及将蒙哥马利形式转换回普通整数的函数。 5. 利用REDC实现蒙哥马利乘法:两个数a和b的蒙哥马利乘法,实际上是计算a*b*R^{-1} mod N(注意:输入a和b应该是蒙哥马利形式,但如果是普通整数,需要先转换)。 注意:在实际使用中,为了避免每次转换,我们可以先将输入转换为蒙哥马利形式,然后进行多次乘法,最后再将结果转换回来。 根据引用[2],我们还可以看到,除、加、减运算也可以通过蒙哥马利形式实现。 下面我们用C++代码实现。注意:由于大整数运算通常需要处理很大的数,我们这里假设使用一个大的无符号整数类型(比如uint64_t)或者使用大数库,但为了简化,我们使用uint64_t,并假设N小于2^63,这样R可以选择2^64(但实际上64位整数模乘会溢出,所以需要处理中间乘积)。因此,我们这里展示一个简化版本,适用于64位整数模乘,并且注意处理中间乘积的溢出问题。更通用的做法是使用多精度整数,但为了清晰,我们仅用64位整数演示原理。 步骤: 1. 计算R的平方模N(R2)和N_inv(即满足:R * R_inv - N * N_inv = 1,但实际代码中我们只需计算-N_inv mod R,即求N mod R的模逆元,因为REDC中需要的是-N_inv mod R)。 2. 实现REDC函数: REDC(T) = (T + (T * N_inv mod R) * N) / R mod N 3. 注意:上述公式中,除法除以R可以通过移位实现(因为R是2的幂),但这里我们假设R=2^64(对于64位整数),那么除以R实际上是取高64位?但实际上,我们通常用另一种方式:因为T + (T * N_inv mod R) * N 是R的倍数,所以除以R等价于右移64位(即取高64位?不,这里要小心)。实际上,在64位实现中,R=2^64,那么除以R就是取高64位,但中间乘积可能达到128位。 因此,我们需要使用128位整数(如果支持),比如使用__uint128_t(在gcc/clang中支持)。 具体实现: 预计算参数: - 选择R:通常取大于N的最小2的幂,但为了效率,我们可以取R=2^64(当N<2^64时)。但实际R应该大于等于N,且与N互素(因此N必须是奇数,因为R是2的幂,所以要求N为奇数才能互素)。 - 计算R2 = (R * R) % N - 计算N_inv:即求N的模R逆元的负数模R。具体地,求N_inv使得:N * N_inv ≡ -1 mod R。我们可以使用扩展欧几里得算法,但更常用的是牛顿迭代法(用于求模逆)。由于R是2的幂,我们可以使用牛顿迭代法求N mod R的逆,然后取负再模R。 但是,引用[2]中提到只需要计算一次R2和N_inv。 这里我们实现一个Montgomery64类,用于64位整数的蒙哥马利乘法(注意:N必须是小于2^63的奇数,因为R=2^64,要求N与R互素,所以N为奇数)。 代码结构: class Montgomery64 { private: uint64_t mod; // 模数N uint64_t inv; // 即-N_inv mod R,满足:N * inv ≡ -1 mod R uint64_t r2; // R2 mod N,其中R=2^64 public: // 构造函数,预计算inv和r2 Montgomery64(uint64_t modulus); // 将普通整数a转换为蒙哥马利形式:返回 a * R mod N uint64_t to_mont(uint64_t a) const; // 将蒙哥马利形式a转换回普通整数:返回 a * 1 * R^{-1} mod N uint64_t from_mont(uint64_t a) const; // 蒙哥马利乘法:输入两个蒙哥马利形式的数a和b,返回 a * b * R^{-1} mod N uint64_t multiply(uint64_t a, uint64_t b) const; private: // 辅助函数:计算a的模逆(使用牛顿迭代法,针对2^64的模) uint64_t mod_inv(uint64_t a) const; // 蒙哥马利约减(REDC):输入T(128位整数),返回T * R^{-1} mod N uint64_t reduce(__uint128_t t) const; }; 注意:由于我们使用R=2^64,所以REDC函数可以这样实现: T是一个128位的数,我们将其拆分为高64位和低64位,但公式为: m = (T mod R) * inv mod R // 这里inv是-N_inv,所以m是一个64位数 t = (T + (__uint128_t)m * mod) >> 64 // 移位后,t是一个64位数,但可能大于mod,所以需要判断 if (t >= mod) t -= mod; return t; 但是要注意:T + m*N 可能达到128+64=192位,但实际上我们只需要低128位,并且右移64位后得到的是中间64位(实际上是高64位?)。让我们重新分析: 我们令T0 = T的低64位,T1 = T的高64位,那么T = T1 * 2^64 + T0。 则: m = T0 * inv mod 2^64 (因为T mod R就是T0) T + m * N = T1*2^64 + T0 + m*N 由于 m * N ≡ -T0 (mod 2^64) (因为N*inv≡-1 mod 2^64,所以m*inv≡-T0 mod 2^64,但注意:m = (T0 * inv) mod 2^64,所以m*N ≡ T0*inv*N ≡ T0*(-1) ≡ -T0 mod 2^64) 所以 T0 + m*N ≡ 0 (mod 2^64),即低64位为0,那么整个数可以被2^64整除,所以右移64位(除以R)后得到一个整数,而且这个整数就是(T + m*N) / R。 因此,我们计算: m = (uint64_t)(t_low * inv); // 这里t_low是T的低64位,注意:因为inv是64位,相乘可能溢出到128位,但实际上我们只需要低64位,所以可以转换为乘法后取低64位(因为模2^64) 然而,实际上我们需要的是:m = (T0 * inv) mod 2^64,所以直接相乘取低64位即可。 然后计算: uint128_t total = T + (__uint128_t)m * mod; 然后右移64位(即取高64位)作为结果。 但是,注意:T + m*N 可能超过128位?其实,m*N是一个64位乘以64位,结果是128位,而T也是128位,所以total最多129位,但我们只需要低128位(因为模2^64,我们只关心低128位,因为最终要右移64位,所以高64位就是结果)。 然而,因为T0 + m*N的低64位为0,所以total的低64位为0,因此右移64位就是取高64位(即total的高64位加上m*N的高64位,但注意T的高64位是T1,m*N的高64位是(m * mod)>>64)。 所以,我们可以这样计算: __uint128_t mN = (__uint128_t)m * mod; __uint128_t total = T + mN; uint64_t result = (uint64_t)(total >> 64); // 取高64位 但是,在加法后,可能产生进位,导致result的范围是[0, 2^64-1+?],因此需要减去模数(最多减一次)使其小于mod。 然而,根据蒙哥马利约减的性质,结果是在[0, 2N)之间,所以我们需要: if (result >= mod) result -= mod; 因此,REDC函数可以这样写: uint64_t reduce(__uint128_t T) const { uint64_t T0 = (uint64_t)T; // 低64位 uint64_t T1 = (uint64_t)(T >> 64); // 高64位 // 计算m = T0 * inv mod 2^64 (因为模2^64,直接取低64位) uint64_t m = T0 * inv; // 计算 m*N(128位) __uint128_t mN = (__uint128_t)m * mod; // 计算 total = T + mN(128位加法,但实际上T是128位,mN也是128位) __uint128_t total = T + mN; // 因为低64位被消掉,所以total的低64位为0,因此右移64位得到结果 uint64_t result = (uint64_t)(total >> 64); // 但注意:total的高64位可能由T1和mN的高64位以及进位组成,但上面加法后,total的低64位为0,所以右移64位就是高64位。 // 现在result在范围[0, 2^64)之间,但可能大于等于mod,所以需要调整 if (result >= mod) { result -= mod; } return result; } 但是,还有一种情况:可能total的高64位等于mod,但实际上不可能超过2*mod(因为T < N*R,而mN < R*mod,所以T+mN < 2*N*R,然后除以R后小于2N)。所以上面的调整是安全的。 然后,to_mont函数:将普通整数a转换为蒙哥马利形式,即计算 a * R mod N。但是直接计算a*R mod N需要模除,而我们希望避免模除。因此,我们可以利用REDC:注意REDC(T) = T * R^{-1} mod N,那么如果我们输入T=a*R^2,则REDC(a*R^2) = a * R^2 * R^{-1} = a * R mod N。所以我们有: to_mont(a) = REDC( (__uint128_t)a * r2 ) // 其中r2 = R^2 mod N 同理,from_mont(a):将蒙哥马利形式a转换回普通整数,就是计算 a * 1 * R^{-1} mod N,所以直接调用REDC(a)即可。 而multiply(a, b)就是REDC( (__uint128_t)a * b ),因为a和b都是蒙哥马利形式,所以a = a' * R, b = b' * R,那么a*b = a'*b'*R^2,然后REDC(a*b) = a'*b'*R mod N,这正是蒙哥马利形式下的乘积。 因此,我们需要预计算r2 = R^2 mod N,其中R=2^64。如何计算?因为R=2^64,而mod是64位数,所以R^2 mod N可以通过计算 (R mod N) * R mod N 来得到,但是R mod N = ( -N ) mod N ?不对,R mod N等于R减去N的某个倍数,使结果在[0, N-1]之间。由于R>N,所以R mod N = R - kN,其中k = floor(R/N)。但是直接计算R mod N需要除法,而除法是我们想要避免的。因此,我们可以在构造函数中通过一个技巧计算:r2 = (-N) % N ? 不对,我们计算的是模N下的值,所以r2 = R^2 mod N。我们可以用多次加法来模拟,但由于效率问题,我们通常使用标准方法计算,或者利用REDC函数本身?实际上,我们可以在构造函数中计算: r2 = ( (__uint128_t)(-1) % mod + 1) % mod; // 这是不对的,因为R=2^64,那么R mod N = ( -N ) mod N?不对。 另一种方法:计算r2 = R^2 mod N,其中R=2^64,我们可以写成: R^2 mod N = ( (R mod N) * (R mod N) ) mod N R mod N = (-N) % R ? 不对,我们直接计算:R mod N = R - (R//N)*N,但是R=2^64,很大,所以需要避免直接除法。我们可以用: R mod N = R - N * (R/N) // 但是R/N就是floor(R/N),可以用整数除法计算,但R=2^64,N是64位,所以R/N也是64位整数,可以计算吗?在64位平台上,2^64除以一个64位整数N,会超出64位,所以无法直接计算。 因此,我们需要另一种方法:利用REDC来计算r2。但是REDC需要r2,所以成了循环?我们可以用位运算逐步计算,但比较麻烦。 这里我们采用直接计算:由于R2 = (R^2) % N,我们可以用128位整数计算: __uint128_t R = (__uint128_t)1 << 64; r2 = R % mod; // 但是R=2^64,那么R%mod就是 (2^64) mod mod,可以直接计算吗?在C++中,128位整数取模64位整数是支持的(在gcc/clang中)。 然后r2 = (r2 * r2) % mod; // 不对,R^2 mod N = (R mod N) * (R mod N) mod N,但我们需要整个R^2 mod N,而R^2=2^128,所以我们可以: __uint128_t R2 = (__uint128_t)1 << 64; R2 = R2 * R2; // 2^128 r2 = R2 % mod; // 这样计算 但是,在构造函数中,mod是已知的,我们可以这样计算: r2 = (mod == 0) ? 0 : ( (-mod) % mod ); // 不对,这不是我们要的。 正确计算r2的方法: r2 = ((__uint128_t)(-1) % mod) + 1; // 计算R-1 mod mod,再加1就是R mod mod?不对,因为R=2^64,而(__uint128_t)(-1)是2^128-1,模mod后加1并不是我们要的。 实际上,我们想要 R^2 mod N,其中R=2^64。由于R^2=2^128,所以我们可以: r2 = (1<<64) % mod; // 先计算R mod N,得到r0 r2 = (__uint128_t)r0 * r0 % mod; // 然后r0^2 mod N 但是第一步:R mod N如何计算?因为R=2^64,所以: r0 = (1ULL << 63) % mod; r0 = (r0 << 1) % mod; ... // 这样需要64次,效率低。 更好的方法:使用128位整数直接计算: __uint128_t r0 = (__uint128_t)1 << 64; r0 = r0 % mod; // 得到R mod N r2 = (__uint128_t)r0 * r0 % mod; // R^2 mod N 但是,在构造函数中,我们可以这样计算: if (mod != 0) { __uint128_t r0 = ( (__uint128_t)1 << 64 ) % mod; r2 = (__uint128_t)r0 * r0 % mod; } else { r2 = 0; // 如果模数为0,但通常不会 } 另外,计算inv(即-N_inv mod R): 我们需要一个64位的整数inv,满足:N * inv ≡ -1 (mod R),其中R=2^64。 因为R是2的幂,所以可以通过牛顿迭代法求N关于模R的逆元(然后取负模R)。 牛顿迭代法求模逆(针对2的幂): 设R=2^64,求inv使得:N*inv ≡ 1 (mod R),然后用 -inv mod R 即可得到我们需要的inv(注意这里符号:我们需要的inv其实是满足N*inv≡-1 mod R,所以如果求出了N关于R的逆元x,那么inv = -x mod R)。 牛顿迭代法步骤: x0 = 1 x1 = x0 * (2 - N*x0) mod 2^2 x2 = x1 * (2 - N*x1) mod 2^4 ... 直到2^64 迭代次数:因为R=2^64,所以需要迭代6次(2^6=64)。 具体代码: uint64_t mod_inv(uint64_t a) const { // 模2^k的牛顿迭代法求a的逆元,这里要求a为奇数(与2互素) uint64_t inv = 1; for (int i = 0; i < 6; i++) { // 迭代6次:2^2, 2^4, 2^8, ... 2^64 inv = inv * (2 - a * inv); } return inv; } 然后,我们需要的inv = (-inv0) mod R,即直接取负(因为模R就是取低64位):inv = -inv0;但是注意:因为inv0是N的逆元,所以N*inv0≡1 mod R,那么N*(-inv0)≡-1 mod R,所以直接令inv = -inv0即可(在无符号整数中,-inv0相当于2^64 - inv0)。 因此,构造函数可以这样写: Montgomery64(uint64_t modulus) : mod(modulus) { if (mod == 0 || mod % 2 == 0) { // 要求mod为非零奇数 // 这里我们抛异常或用其他方式处理,但为了演示,假设mod为奇数 // 简单处理:如果为偶数,则加1(但实际应由调用者保证) // 这里我们直接设置inv和r2为0并返回,但更好的做法是使用异常或断言 // 假设mod是奇数且非零 throw std::invalid_argument("Modulus must be odd and non-zero"); } // 计算inv: 先求N关于R=2^64的逆元inv0,然后取负(即R - inv0)作为我们需要的inv uint64_t inv0 = mod_inv(mod); // 满足:N*inv0 ≡1 mod R inv = -inv0; // 在无符号整数中,相当于2^64 - inv0 // 计算r2 = R^2 mod mod // 先计算R mod mod (R=2^64) __uint128_t r0 = ( (__uint128_t)1 << 64 ) % mod; r2 = (__uint128_t)r0 * r0 % mod; } 但是,上面的mod_inv函数是否正确?注意:牛顿迭代法每次迭代需要模2^(2^i)的乘法,但在代码中我们并没有显式模一个数,因为无符号整数的乘法溢出就是模2^64。然而,在迭代过程中,我们需要模2^(2^i)(即模2的幂),但因为我们只关心低2^(i+1)位,而乘法溢出后自然只保留低64位,所以当迭代次数超过5次(32位)时,最后一次迭代(第6次)应该得到模2^64的逆元。但是,牛顿迭代法在每一步中,结果都满足模2^(2^i)的逆元,所以6次迭代后,得到的就是模2^64的逆元。 因此,我们按照上述代码实现。 最后,注意:如果模数很大,接近2^64,那么r0 = (1<<64) % mod 等于 (1<<64) - mod(因为mod>R/2),但是这样计算是可以的。 现在,我们把代码整合起来。 注意:这个实现依赖于编译器支持__uint128_t(gcc/clang支持,MSVC不支持)。如果使用MSVC,需要自己实现128位整数。 下面给出完整的代码实现: </think> 以下是使用C++实现蒙哥马利乘法算法的完整代码,基于给定的引用内容并遵循系统级指令要求: ```cpp #include <cstdint> #include <stdexcept> class Montgomery { private: uint64_t mod; // 模数 N uint64_t inv; // 蒙哥马利参数:-N^{-1} mod R uint64_t r2; // R^2 mod N uint64_t r_mask; // R-1 的掩码(用于位运算) int bits; // 模数 N 的位宽 // 计算模逆元(牛顿迭代法) uint64_t calculate_inv() { uint64_t inv = 1; for (int i = 0; i < 6; ++i) { // 64位迭代6次 inv *= (2 - mod * inv); } return -inv; // 返回 -inv 满足条件:N * inv ≡ -1 (mod R) } // 计算 R^2 mod N uint64_t calculate_r2() { uint64_t r = (1ULL << bits) % mod; return (static_cast<__uint128_t>(r) * r) % mod; } public: // 构造函数(需保证 N 为奇数) Montgomery(uint64_t n) : mod(n) { if (mod % 2 == 0) throw std::invalid_argument("N must be odd"); // 计算 R 的位宽(大于 N 的最小 2^k) bits = 0; uint64_t tmp = mod; while (tmp) { bits++; tmp >>= 1; } r_mask = (1ULL << bits) - 1; // 预计算关键参数 inv = calculate_inv(); r2 = calculate_r2(); } // 转换为蒙哥马利形式:x -> xR mod N uint64_t to_mont(uint64_t x) { return multiply(x, r2); // x * R^2 * R^{-1} = xR mod N } // 从蒙哥马利形式转换:xR -> x mod N uint64_t from_mont(uint64_t xr) { return multiply(xr, 1); // xR * 1 * R^{-1} = x mod N } // 蒙哥马利乘法:计算 (aR * bR) * R^{-1} = abR mod N uint64_t multiply(uint64_t a, uint64_t b) { __uint128_t T = static_cast<__uint128_t>(a) * b; uint64_t m = (static_cast<uint64_t>(T) * inv) & r_mask; // m = (T * inv) mod R T += static_cast<__uint128_t>(m) * mod; // T + m * N uint64_t result = T >> bits; // (T + mN) / R // 结果调整(确保在 [0, mod-1] 区间) return result >= mod ? result - mod : result; } }; // 示例用法 int main() { // 设置模数 N(必须是奇数) uint64_t N = 17; // 示例质数 Montgomery mont(N); // 常规整数转换为蒙哥马利形式 uint64_t a_mont = mont.to_mont(5); // 5 -> 5R mod N uint64_t b_mont = mont.to_mont(7); // 7 -> 7R mod N // 蒙哥马利乘法 uint64_t prod_mont = mont.multiply(a_mont, b_mont); // (5*7)R mod N // 转换回常规整数 uint64_t result = mont.from_mont(prod_mont); // 35 mod 17 = 1 return 0; } ``` ### 关键算法原理说明 1. **蒙哥马利形式转换** 普通整数 `x` 转换为蒙哥马利形式:$x \mapsto x \cdot R \mod N$,其中 $R = 2^k > N$($k$ 是大于 $N$ 的最小2的幂)。转换使用预计算的 $R^2 \mod N$ 实现[^1]。 2. **蒙哥马利乘法核心** 对于蒙哥马利形式下的输入 $aR$ 和 $bR$,计算: $$ \text{multiply}(aR, bR) = \big(aR \cdot bR \big) \cdot R^{-1} \mod N = (ab)R \mod N $$ 通过参数 `m` 将除法转化为移位运算(`>> bits`),避免昂贵除法操作[^2]。 3. **参数预计算** - $R^{-1} \mod N$:通过牛顿迭代法计算 - $-N^{-1} \mod R$:满足 $N \cdot \text{inv} \equiv -1 \pmod{R}$ - $R^2 \mod N$:用于快速转换蒙哥马利形式 ### 性能优化 - **除法避免**:仅构造函数中预计算参数需要除法,后续乘法仅用加法和位移。 - **大数支持**:使用 `__uint128_t` 处理中间乘积(需编译器支持)。 - **位运算加速**:通过掩码(`r_mask`)和位移替代取模运算。 ### 使用注意事项 1. 模数 $N$ 必须是奇数(否则 `inv` 计算失败)。 2. 输入值必须小于 $N$,否则需先取模。 3. 适用于重复模乘场景(如模幂运算),单次操作可能因转换开销不占优。
评论 1
成就一亿技术人!
拼手气红包6.0元
还能输入1000个字符
 
红包 添加红包
表情包 插入表情
 条评论被折叠 查看
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值