[NOIP1999 普及组] Cantor 表

[NOIP1999 普及组] Cantor 表

题目描述:

现代数学的著名证明之一是 Georg Cantor 证明了有理数是可枚举的。他是用下面这一张表来证明这一命题的：

1/1 ,   1/2 ,   1/3 ,   1/4,   1/5,   …

2/1,   2/2 ,   2/3,    2/4,    …

3/1 ,   3/2,    3/3,    …

4/1,    4/2,    …

5/1,   …

…

我们以 Z 字形给上表的每一项编号。第一项是 1/1，然后是 1/2，2/1，3/1，2/2，…

输入格式:

整数N（1 <= N <= 10^7）。

输出格式:

表中的第 N 项。

样例 #1:

样例输入 #1:

7

样例输出 #1

1/4

思路：

算法1：模拟

模拟，按题意一个个枚举

时间复杂度O(n),可以通过本题n≤10^7.

算法2：枚举

  发现Z字形的每条斜线可以快速枚举，即枚举

  1/1 , 1/2 , 3/1 , 1/4 , 5/1 , 1/6……找到要求的第n项所在斜线，再一个个枚举或计算得出答案

  时间复杂度O(√n),可以通过n≤10^14

算法2.2：枚举简化

  枚举第n项在哪一行，计算得出答案，比算法2好写,

  时间复杂度同算法2

算法3：二分

  发现第i条斜线（即分子分母之和&