[CodeChef OCT13]斐波那契数Fibonacci Number解题报告

题目

http://cogs.pro/cogs/problem/problem.php?pid=2114

分析

这道题是CodeChef上难得一见的优美数论题，比那些（净是中国人出的）丧心病狂的数据结构高到不知道哪里去了。

题目基于两个算法：第一个是Tonelli-Shanks算法，第二个是Shanks大步小步算法（这个Shanks是会玩的）。前者参见我的上一篇博文：http://blog.youkuaiyun.com/wmdcstdio/article/details/49862189，后者资料众多，不再赘述。

Tonelli-Shanks算法是一个“开根号”的算法。即，给出奇素数p和某个a，它能在O(log^2p)内找到一个r，使得r^2=a (mod p)，或者判断不存在这样的r。而大步小步算法则是求“离散对数”的：给出a,b，求最小的非负整数n使得a^n=b (mod p)。

Tonelli-Shanks算法能干什么呢？首先可以求出模P意义下的“根号5”，即某个x使得x^2=5 (mod P，下略)，然后就能求出模P意义下的"(sqrt(5)+1)/2"，记为y。

如此一来，我们可以把Fibonacci数列的通项公式写成：