[CF 273D]Dima and Figure解题报告

最新推荐文章于 2024-10-19 17:11:20 发布

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#codeforces #解题报告 #动态规划

本文介绍了一种使用动态规划解决特殊图形涂色问题的方法。通过定义状态F[k][mask][i][j]来记录不同边界条件下图形的涂色方案数，并采用前缀和技巧优化计算过程。

题目翻译

http://cogs.pro/cogs/problem/problem.php?pid=1925

题解

就是DP……

F[k][mask][i][j]代表：当前图形的最下端是第k行，左右边界的开放/收缩情况是mask，第k行涂黑了i~j列。

具体讲，mask=0代表左右边界均收缩，mask=1代表左开放右收缩，mask=2代表左收缩右开放，mask=3代表左右均开放。

“收缩”左边界的意思是：在第k行之前的每一行，涂黑部分最左都没有越过i，右边界就是最右没有越过j。

“开放”左边界的意思是：在第k行之前的某一行，涂黑部分最左越过了i，右边界就是某一行越过了j。

显然，收缩边界只能由收缩边界转移而来，否则就不满足那个曼哈顿距离的条件了。更准确地说，左右边界都是①一直开放，②一直收缩，③先一直收缩再一直开放（纺锤形）三种情况之一。

裸这样做复杂度太高，可以给F数组记一个前缀和S，用前缀和快速求区间和。

同时，F和S数组可以互相滚动（这样就去掉了k那一维），非常方便。

转移……就是各种分类讨论吧，详见代码

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL MOD=1000000007;
const int SIZEN=160;
int N,M;
//0代表"不严格收缩性",1代表"严格扩张性"
LL F[4][SIZEN][SIZEN];
LL S[4][SIZEN][SIZEN];
LL realmod(LL x){
	x%=MOD;
	if(x<0) x+=MOD;
	return x;
}
void add(LL &a,LL b){
	a=realmod(a+b);
}
void prepare_pref(LL f[SIZEN][SIZEN],LL s[SIZEN][SIZEN]){
	//s中该空的都空着
	for(int i=1;i<=M;i++){
		for(int j=1;j<=M;j++){
			s[i][j]=realmod(s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+f[i][j]);
		}
	}
}
LL calc_sum(LL s[SIZEN][SIZEN],int x1,int x2,int y1,int y2){
	if(x1>x2||y1>y2) return 0;
	return realmod(s[x2][y2]-s[x2][y1-1]-s[x1-1][y2]+s[x1-1][y1-1]);
}
void prepare_row(void){
	for(int k=0;k<4;k++) prepare_pref(F[k],S[k]);
}
void DP_row(void){//用S去计算F
	for(int i=1;i<=M;i++){
		for(int j=i;j<=M;j++){
			/*0:两个边界均为收缩性边界*/
			F[0][i][j]=1;//连通块从这一行开始
			add(F[0][i][j],calc_sum(S[0],i,j,i,j));
			/*1:左边界为扩张性边界,右边界为收缩性边界*/
			//此时,上一行的右边界必为收缩性边界,左边界则二者均可能
			F[1][i][j]=0;
			//左收缩右收缩:
			add(F[1][i][j],calc_sum(S[0],1,i-1,i,j));
			//左扩张右收缩:
			add(F[1][i][j],calc_sum(S[1],1,i,i,j));
			/*2:左边界为收缩性边界,右边界为扩张性边界*/
			//此时,上一行的左边界必为收缩性边界,右边界则二者均可能
			F[2][i][j]=0;
			//左收缩右收缩:
			add(F[2][i][j],calc_sum(S[0],i,j,j+1,M));
			//左收缩右扩张:
			add(F[2][i][j],calc_sum(S[2],i,j,j,M));
			/*3:左边界和右边界均为扩展性边界*/
			//此时,上一行的两个边界都是二者均有可能
			F[3][i][j]=0;
			//左收缩右收缩:
			add(F[3][i][j],calc_sum(S[0],1,i-1,j+1,M));
			//左扩张右收缩:
			add(F[3][i][j],calc_sum(S[1],1,i,j+1,M));
			//左收缩右扩张:
			add(F[3][i][j],calc_sum(S[2],1,i-1,j,M));
			//左扩张右扩张:
			add(F[3][i][j],calc_sum(S[3],1,i,j,M));
		}
	}
}
void work(void){
	LL ans=0;
	for(int i=1;i<=N;i++){
		DP_row();
		prepare_row();
		for(int k=0;k<4;k++){
			add(ans,S[k][M][M]);
		}
	}
	printf("%d\n",(int)ans);
}
int main(){
	freopen("dimaandfigure.in","r",stdin);
	freopen("dimaandfigure.out","w",stdout);
	scanf("%d%d",&N,&M);
	work();
	return 0;
}