三个无重叠子数组的最大和

689. 三个无重叠子数组的最大和

给定数组 nums 由正整数组成，找到三个互不重叠的子数组的最大和。

每个子数组的长度为k，我们要使这3*k个项的和最大化。

返回每个区间起始索引的列表（索引从 0 开始）。如果有多个结果，返回字典序最小的一个。

示例

输入: [1,2,1,2,6,7,5,1], 2
输出: [0, 3, 5]
解释: 子数组 [1, 2], [2, 6], [7, 5] 对应的起始索引为 [0, 3, 5]。
我们也可以取 [2, 1], 但是结果 [1, 3, 5] 在字典序上更大。

注意:

• nums.length的范围在[1, 20000]之间。
• nums[i]的范围在[1, 65535]之间。
• k的范围在[1, floor(nums.length / 3)]之间。

题解

1. 假设nums的长度为len，求出nums数组所有连续k个子序列的和的数组sums，已知nums的长度为len，sums的长度则为len-k+1，用t表示。
2. 那么题目就可以转化为求sums数组，选3个数，这三个数必须满足，相邻间隔不小于k，当和最大时，脚标最小的三个数。
3. 定义dp数组，dp[i][j]表示的是从[0, i]的范围内，选择j个数得到的最大和（j个数的相邻间隔为k）
4. 定义path数组，path[i][j]表示的是当得到dp[i][j]的时候，选择的最后一个数的脚标

定义dp数组的状态转移方程

sums[i]分为选择 和 不选择
当选择sums[i] 时 ，dp[i][j] = dp[i-k][j-1] + sums[i];
当不选择sums[i] 时， dp[i][j] = dp[i-1][j];
最终求最大值: dp[i][j] = max{dp[i-k][j-1] + sums[i], dp[i-1][j]}

初始化dp数组需要注意的是
要在sums数组中选择j个数，并且满足相邻的数间隔不小于k，那么sums的长度必须满足t > (j-1)*k，由于i代表的是脚标，所以只有在i >= (j-1)*k的时候，dp数组才有意义
边界问题：当k=1时，比较特殊，可以单独初始化，因为k=1时，哪怕sums只有一个数，也可以选择，但是如果k>1时，比如k=2，当sums有2个数的时候，其实是无法选择的。

以 [1,2,1,2,6,7,5,1], 2 输入为例，
sums数组为：
[3, 3, 3, 8, 13, 12, 6]
得到的dp数组和path数组分别为：

dp	0	1	2	3
0	0	3	0	0
1	0	3	0	0
2	0	3	6	0
3	0	8	11	0
4	0	13	16	19
5	0	13	20	23
6	0	13	20	23

path	0	1	2	3
0	0	0	0	0
1	0	0	0	0
2	0	0	2	0
3	0	3	3	0
4	0	4	4	4
5	0	4	5	5
6	0	4	5	5

最后得到path，那么path[t-1][3]就是从[0, t-1]的范围内，选择3个数和最大时，最后一个数的脚标，用res[2]来表示，那么前一个的脚标一定是[0, res[2]-k]的范围内，选择2个数和最大时，最后一个数的脚标，依次类推，得到第一个脚标。

代码如下：

class Solution {
    public int[] maxSumOfThreeSubarrays(int[] nums, int k) {
        int len = nums.length;
        int t = len-k+1;
        int[] sums = new int[t];
        int[] res = new int[3];
        for(int i=0; i<k; i++){
            sums[0] += nums[i];
        }
        for(int i=1;i<t;i++){
            sums[i] = sums[i-1]-nums[i-1]+nums[i+k-1];
        }
        int[][] dp = new int[t][4];
        int[][] path = new int[t][4];
        dp[0][1] = sums[0];
        path[0][1] = 0;
        for(int i = 1;i<t;i++){
            dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1], sums[i]);
            path[i][1] = sums[i] > dp[i-1][1] ? i : path[i-1][1];
        }
        for(int i=0;i<t;i++){
            for(int j=2;j<4;j++){
                if (i >= (j-1)*k){
                    int select = dp[i-k][j-1] + sums[i];
                    int notSelect = dp[i-1][j];
                    dp[i][j] = Math.max(select, notSelect);
                    path[i][j] = path[i-1][j];
                    if(select > notSelect){
                        path[i][j] = i;
                    }
                }
            }
        }

        res[2] = path[t-1][3];
        res[1] = path[res[2]-k][2];
        res[0] = path[res[1]-k][1];
        return res;
    }

该题还可以引申一下，把找3个子数组，引申到找n个子数组：

class Solution {
    public int[] maxSumOfThreeSubarrays(int[] nums, int k) {
        return maxSumOfNSubarrays(nums,k,3);
    }

    public int[] maxSumOfNSubarrays(int[] nums, int k, int n){
        int len = nums.length;
        int t = len-k+1;
        int[] sums = new int[t];
        int[] res = new int[n];
        for(int i=0; i<k; i++){
            sums[0] += nums[i];
        }
        for(int i=1;i<t;i++){
            sums[i] = sums[i-1]-nums[i-1]+nums[i+k-1];
        }
        int[][] dp = new int[t][n+1];
        int[][] path = new int[t][n+1];
        dp[0][1] = sums[0];
        path[0][1] = 0;
        for(int i = 1;i<t;i++){
            dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1], sums[i]);
            path[i][1] = sums[i] > dp[i-1][1] ? i : path[i-1][1];
        }
        for(int i=0;i<t;i++){
            for(int j=2;j<n+1;j++){
                if (i >= (j-1)*k){
                    int select = dp[i-k][j-1] + sums[i];
                    int notSelect = dp[i-1][j];
                    dp[i][j] = Math.max(select, notSelect);
                    path[i][j] = path[i-1][j];
                    if(select > notSelect){
                        path[i][j] = i;
                    }
                }
            }
        }

        int row = t-1;
        int col = n;
        res[n-1] = path[row][col--];
        for(int i=n-2; i>=0; i--){
            res[i] = path[res[i+1]-k][col--];
        }
        return res;
    }
}