leetcode:多米诺和托米诺平铺

春树穆云

已于 2022-11-12 09:43:52 修改

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分类专栏： LeetCode 文章标签： leetcode python

于 2022-11-12 09:43:28 首次发布

原文链接：https://leetcode.cn/problems/domino-and-tromino-tiling/

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该博客介绍了如何利用动态规划方法解决2xN面板使用多米诺和托米诺形状瓷砖平铺的问题。通过定义状态转移方程，博主展示了如何从已知的初始条件（f[0]=1, f[1]=1, f[2]=2）出发，计算任意n的平铺方案数。博客提供了两种不同的代码实现，分别是使用固定大小的数组和使用三个滚动变量的方法，两种方法都对结果进行模运算以避免溢出。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

一、题目

有两种形状的瓷砖：一种是 2 x 1 的多米诺形，另一种是形如 "L" 的托米诺形。两种形状都可以旋转。

给定整数 n ，返回可以平铺 2 x n 的面板的方法的数量。返回对 109 + 7 取模的值。

平铺指的是每个正方形都必须有瓷砖覆盖。两个平铺不同，当且仅当面板上有四个方向上的相邻单元中的两个，使得恰好有一个平铺有一个瓷砖占据两个正方形。

来源：力扣

二、思路

定义 f[i]f[i] 表示平铺 2 \times i2×i 面板的方案数，那么答案为 f[n]f[n]。尝试计算 ff 的前几项，并从中找到规律，得到 f[n]f[n] 的递推式：

作者：endlesscheng

链接：https://leetcode.cn/problems/domino-and-tromino-tiling/solution/by-endlesscheng-umpp/

三、代码

方法一：定义 f[0]=1f[0]=1，这样可以从 f[3]f[3] 开始算

MOD = 10 ** 9 + 7

class Solution:
    def numTilings(self, n: int) -> int:
        if n == 1: return 1
        f = [0] * (n + 1)
        f[0] = f[1] = 1
        f[2] = 2
        for i in range(3, n + 1):
            f[i] = (f[i - 1] * 2 + f[i - 3]) % MOD
        return f[n]

方法二：也可以用 3 个变量滚动计算 f

MOD = 10 ** 9 + 7

class Solution:
    def numTilings(self, n: int) -> int:
        if n == 1: return 1
        a, b, c = 1, 1, 2
        for _ in range(3, n + 1):
            a, b, c = b, c, (c * 2 + a) % MOD
        return c