最长公共子序列

题目见下图：

  思路：首先要对子序列有一个认识，这里的子序列不是直接截取的，而是从原序列中取出若干字符，而字符间的相对次序不发生改变。这样求得的结果会出现歧义，也可能得到几个满足条件的结果，暂时不考虑。

  很容易想到求解此题需要遍历、比较，关键是如何比较？采用“减而治之，分而治之”的思路。

  见下图，先考虑序列A和B的最后一个字符是相等的情况，那么最后两个字符就可以凑出一个公共字符（注意：可能A序列的最后一个字符已经和B序列的前某个字符匹配了，那么让A序列的最后一个字符和B序列的最后一个字符匹配，对结果也是没有影响的，得到的公共子序列是一样的）。当A和B的最后一个字符匹配了，那么就可以把最后一个字符拿掉，考虑剩下的字符匹配情况，问题的规模变小了。

   下面再考虑A和B的最后一个字符不相等的情况，见下图，这时A序列和B序列的最后一个字符总有一个不能匹配成功，把没有办法匹配成功的字符删掉，再考虑剩下的字符的匹配情况，问题的规律也变小了。

综合上述思路，代码如下，分解，递归：

这里写代码片

这样的求解过程，似然完成了任务，但是算法复杂度呢？？？？对它的分析见下图：

这里出现的问题，也是使用递归求解通常会出现的问题。递归算法的复杂度往往都是指数级别的，就像一棵树一样，不断的进行分裂，而分裂的节点，可能出现大量重复计算的情况，如果规避了重复计算，会大幅降低时间复杂度，但是递归仍然浪费了空间。合适的办法是使用动态规划的思想，把递归问题转成一个迭代求解的问题。结合上述思路，写出代码如下：

这里写代码片

上面的迭代式算法，需要记录每个子问题的局部解，从而导致空间复杂度激增。实际上，这既不现实，亦无必要。可以对算法进一步改进，使得每个子问题只需常数空间，即可保证得到最终的公共最长子序列（而非仅仅是长度）

这里写代码片