算法之深入理解正则表达式与非确定有限状态自动机

算法之深入理解正则表达式与非确定有限状态自动机

在算法的学习过程中，我常常被各种精妙的思想和复杂的概念所吸引，同时也深知独自探索的艰辛。正则表达式和与之紧密相关的非确定有限状态自动机（NFA）就是这样既有趣又具有挑战性的知识领域。今天，我想把自己在学习这些知识时的收获分享给大家，希望我们能一起进步，更深入地理解它们的原理和应用。

写作初衷

算法作为计算机科学的核心，正则表达式和NFA在其中扮演着重要的角色。无论是文本处理、数据验证，还是编译器设计等方面，它们都有着广泛的应用。然而，这些知识对于初学者来说可能比较晦涩难懂，我在学习时也遇到了不少困惑。所以，希望通过这篇博客，用通俗易懂的语言和丰富的示例，帮助大家更好地理解正则表达式和NFA，让大家在学习算法的道路上少走弯路，共同提升对算法的认知和应用能力。

正则表达式基础回顾

基本操作

正则表达式通过连接、或、闭包和括号这几种基本操作来描述字符串模式。连接操作就像拼接积木，把字符或表达式按顺序连接，如“AB”表示只有“AB”这个字符串能匹配。或操作（用“|”表示）提供多种选择，“A|B”意味着“A”或者“B”都能匹配。闭包操作（“”）允许表达式重复任意次数（包括0次），“AB”可以匹配“A”“AB”“ABB”等。括号用于调整操作优先级，“(AB|CD)”明确了先计算“AB”和“CD”的或关系。

缩略写法

1. 字符集描述符：通配符“.”能匹配任意单个字符，“A.B”可以匹配“ACB”“ADB”等。方括号用于指定集合，“[AEIOU]”表示匹配任意一个元音字母。范围集合“[A-Z]”表示所有大写字母，补集“[^AEIOU]”则匹配除元音字母外的字符。
2. 闭包的简写：“+”表示至少重复1次，“(AB)+”能匹配“AB”“ABAB”等；“?”表示重复0次或1次，“(AB)? ”可匹配空字符串或“AB”；花括号“{}”用于指定重复次数或范围，“(AB){3}”只匹配“ABABAB”，“(AB){1,2}”能匹配“AB”和“ABAB”。
3. 转义序列：反斜杠“\”用于转义元字符，“.”表示匹配点“.”本身，“\t”“\n”“\s”等转义序列分别表示制表符、换行符和任意空白字符。

非确定有限状态自动机（NFA）

NFA概述

NFA是处理正则表达式的重要工具。对于长度为M的正则表达式，其对应的NFA有M + 1个状态（从0到M），0是起始状态，M是接受状态（虚拟状态）。NFA中的状态转换有两种方式：匹配转换和ε - 转换。

1. 匹配转换：当当前状态对应字母表中的字符，且与文本中的当前字符相匹配时，自动机扫描该字符并转换到下一个状态（通过黑色边）。
2. ε - 转换：自动机可以不扫描文本字符，直接通过红色边转换到另一个状态，相当于匹配空字符串。

当输入为AAAA BD时，NFA可能通过一系列匹配转换和ε - 转换最终到达接受状态，表明输入文本与正则表达式匹配。但NFA具有不确定性，如输入AAAABD时，若状态转换选择不当，可能导致自动机停滞。

NFA的表示与模拟

1. 自动机的表示：在Java中，可以用char数组re[]保存正则表达式，它同时表示匹配转换。ε - 转换用有向图G表示，图中的边连接0到M之间的顶点。例如，对于上述正则表达式，其有向图可能包含边0 -> 1 1 -> 2 1 -> 6等。
2. NFA的模拟与可达性：模拟NFA运行时，记录自动机在检查当前输入字符时可能遇到的所有状态的集合。通过查找从状态0通过ε - 转换可达的状态来初始化这个集合。对于集合中的每个状态，检查与输入字符的匹配情况，然后更新可能到达的状态集合，重复这个过程直到文本结束。如果最终可能到达的状态集合中含有接受状态，则匹配成功；否则匹配失败。

下面是一个简单的Java代码示例，用于模拟NFA的运行：