堆排序的入门与示例

堆排序（Heap Sort）是一种基于堆的数据结构的排序算法，具有 O(n log n) 的时间复杂度，适用于大规模数据的排序。

堆排序流程（以最大堆为例）

最大堆的特点是：父节点的值始终大于等于子节点的值，这样堆顶（根节点）始终是最大值。

1. 构建最大堆

• 从最后一个非叶子节点开始，向上调整，使整个数组满足最大堆的性质。
• 叶子节点天然是堆，因此我们只需调整内部节点。

2. 交换堆顶元素与末尾元素

• 堆顶元素（最大值）与最后一个元素交换，使最大值移至数组末尾。
• 这样，当前数组的最后一部分变为有序部分。

3. 重新调整剩余元素为最大堆

• 交换后，根节点可能不满足堆性质，因此对新的根节点向下调整（heapify），恢复最大堆。
• 继续重复步骤 2 和 3，直到堆中只剩下一个元素，排序完成。

示例

假设对数组 [4, 10, 3, 5, 1] 进行堆排序：

构建最大堆

初始数组：

        4
      /   \
    10     3
   /  \
  5    1

调整成最大堆：

       10
      /   \
    5      3
   /  \
  4    1

排序过程

1. 交换 10 和 1（最大值放到末尾）：
   1, 5, 3, 4, (10)
2. 调整剩余部分为最大堆（5 变为新根，调整后 5, 4, 3, 1）：
   5, 4, 3, 1, (10)
3. 交换 5 和 1：
   1, 4, 3, (5, 10)
4. 调整剩余部分为最大堆（4 变为新根，调整后 4, 1, 3）：
   4, 1, 3, (5, 10)
5. 交换 4 和 3：
   3, 1, (4, 5, 10)
6. 调整剩余部分为最大堆（3 变为新根，无需调整）：
   3, 1, (4, 5, 10)
7. 交换 3 和 1：
   1, (3, 4, 5, 10)
8. 调整剩余部分为最大堆（只剩 1，无需调整）：
   (1, 3, 4, 5, 10)

最终结果：升序 [1, 3, 4, 5, 10]

时间复杂度

• 构建最大堆：O(n)
• 每次取出最大值并调整堆：O(log n)，共进行 n-1 次
• 总时间复杂度：O(n log n)

总结

堆排序是一种不稳定但原地排序算法，适用于大规模数据的排序，尤其适合需要动态获取最大（或最小）值的场景。