ACM中的球和盒子模型解析-优快云博客

这篇博客详细总结了ACM竞赛中关于球和盒子模型的8种情况，包括球和盒子相同的场景以及不同场景下的解题策略。讨论了有无空盒的情况，并引入了整数拆分、隔板法、贝尔数、斯特林数等概念进行分析，提供了不同的计数方法和公式。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

N个球，M个盒子，允不允许有空盒,空盒本质上是M取值范围为[1,M]

1、球相同，盒子相同，有空盒

归类为整数拆分，无顺序，2+3与3+2相同

//dp[N][M],将整数N分解为M份，高端霸气上档次的五边形优化之后再说吧
if(i > j)	 dp[i][j] = dp[i-1][j];
if(i == j)	dp[i][j] = dp[i-1][j] + 1;
if(i < j)	 dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - i];

2、球相同，盒子相同，没有空盒

从上一个式子改编dp[N - M][M]

3、球相同，盒子不同，有空盒

归类为整数拆分，有顺序

隔板法C(N + M - 1,M - 1)

4、球相同，盒子不同，没有空盒

隔板法C(N - 1,M - 1)

5、球不同，盒子相同，有空盒

归类为bell数，sigma(S[N, 1]...S[N, M]),计算见下

void getBell()
{
	static int bellfirst = 1;
	if(bellfirst)	{getStir2();bellfirst = 0;}
	for(int i = 1;i <= 2000;i++)
	{
		bell[i] = 0;
		for(int k = 1;k <= i;k++)
		  bell[i] = (bell[i] + stir2[i][k]) % mod; 
	}
}

6、球不同，盒子相同，没有空盒

归类为第二类斯特林数，S[N,K] = 1 K=1||K=N

void getStir2()
{
	for(int i = 1;i <= 2000;i++)
	{
		stir2[i][0] = 0;
		stir2[i][i] = 1;//易错
		for(int k = 1;k < i;k++)
		{
			stir2[i][k] = (stir2[i - 1][k - 1] + k*stir2[i - 1][k])%mod;
		}
	}
}

7、球不同，盒子不同，有空盒

M^N

8、球不同，盒子不同，没有空盒

M!*S[N,M]