AcWing——91. 最短Hamilton路径

最新推荐文章于 2023-02-25 22:01:30 发布

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#哈密顿路径 #NP完全 #位运算

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博客围绕最短Hamilton路径问题展开，给定带权无向图，求从起点0到终点n - 1不重不漏经过每个点一次的最短路径。介绍了输入输出格式、数据范围，并给出样例。指出该问题是NP完全问题，采用状态压缩枚举记录最优解。

91. 最短Hamilton路径
给定一张 nn 个点的带权无向图，点从 0~n-1 标号，求起点 0 到终点 n-1 的最短Hamilton路径。 Hamilton路径的定义是从 0 到 n-1 不重不漏地经过每个点恰好一次。

输入格式

第一行输入整数nn。

接下来nn行每行nn个整数，其中第ii行第jj个整数表示点ii到jj的距离（记为a[i,j]）。

对于任意的x,y,zx,y,z，数据保证 a[x,x]=0，a[x,y]=a[y,x] 并且 a[x,y]+a[y,z]>=a[x,z]。

输出格式

输出一个整数，表示最短Hamilton路径的长度。

数据范围

1≤n≤201≤n≤20
0≤a[i,j]≤1070≤a[i,j]≤107
输入样例：

5
0 2 4 5 1
2 0 6 5 3
4 6 0 8 3
5 5 8 0 5
1 3 3 5 0
输出样例：

18
ps：最短哈密顿路是一个NP完全问题，就是说没有什么多项式的解法，对于这种问题，就只能枚举，但枚举时，我们用了状态压缩的方法来记录当前的最优解，具体参考代码的注释

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=20,M=1<<20;
int n;
int f[M][N],w[N][N];
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=0;i<n;i++){
		for(int j=0;j<n;j++){
			cin>>w[i][j];
		}
	}
	memset(f,0x3f,sizeof(f));//把所有的状态初始化成正无穷 
	f[1][0]=0;//有1个点，在0号点，且没走过路程，初始化就为0 
	for(int i=0;i<1<<n;i++){
		for(int j=0;j<n;j++){  //枚举所有状态 
			if(i>>j&1){        //判断i的第j位是不是1，是1状态就是合法的 
				for(int k=0;k<n;k++){//枚举下所有整数 
					if(i-(1<<j)>>k&1){ 
						f[i][j]=min(f[i][j],f[i-(1<<j)][k]+w[k][j]);
					}
				}
			} 
		}
	}
	cout<<f[(1 << n)-1][n-1]<<endl;
	return 0;
}