Acwing--多重背包问题 II（二进制+01背包优化）

最新推荐文章于 2024-03-18 12:47:37 发布

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这篇博客探讨了如何解决具有大数据范围的背包问题，通过使用二进制优化的方法避免时间超限。作者介绍了从传统的0/1背包问题到多重背包问题的转换，并展示了如何通过将物品数量进行二进制优化，从而减少循环次数，提高算法效率。文章提供了两段C++代码，分别展示未优化和优化后的解决方案，并指出优化后的代码能有效应对数据范围扩大的情况。

有 NN 种物品和一个容量是 VV 的背包。

第 ii 种物品最多有 sisi 件，每件体积是 vivi，价值是 wiwi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，VN，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 NN 行，每行三个整数 vi,wi,sivi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 ii 种物品的体积、价值和数量。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N≤1000
0<V≤2000
0<vi,wi,si≤20000<vi,wi,si≤2000

提示：

本题考查多重背包的二进制优化方法。

输入样例
4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2
输出样例：
10

用一维的会时间超限~😶

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2010;

int f[N];

int main()
{
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int v,w,s;
		cin>>v>>w>>s;
		for(int j=m;j>=v;j--)
		{
			for(int k=0;k<=s&&k*v<=j;k++)
			{
				f[j]=max(f[j],f[j-v*k]+w*k);
			}
		}
	}
	cout<<f[m]<<endl;
	return 0;
}

所以就要优化喽~，因为数据范围由10^2扩大了到10^3。如果还用之前的三个for循环一定会时间超限的，所以。😉

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2010;
struct good{
	int w,v;
};
int f[N];
int main()
{
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	vector<good>ve;
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int w,v,s;
		cin>>v>>w>>s;
		//把个数进行二进制优化 
		for(int k=1;k<=s;k*=2)
		{
			s-=k;
			ve.push_back({k*w,k*v});
		}
		if(s>0)
		ve.push_back({s*w,s*v});
	}
	//按照01背包处理一遍~ 
	for(auto t:ve)
	{
		for(int j=m;j>=t.v;j--)
		{
			f[j]=max(f[j],f[j-t.v]+t.w);
		}
	}
	cout<<f[m]<<endl;
	return 0;
}