图形学数学--矩阵

1、矩阵的性质

一个n*m的矩阵M是一个有n行m列的数组。

如果n = m则M是方阵

把矩阵M的i行j列的元素记做M_ij i=j的元素叫做矩阵的主对角线元素。主对角线上的元素不为0的方阵叫做对角阵

一个 n*m 矩阵的转置记做$M^T$,是一个 m*n 的矩阵

单位阵是n*n的矩阵，记做I

矩阵相加为

如果矩阵F的列数和G的行数相同，则F和G可以相乘。
设F=n*m G=m*p 则FG = n*p 元素(i,j)表示为(FG)_ij = $\sum_{k=0}^m$F_ikG_kj

2、线性方程组

$\lt$x,y,z>前面的矩阵叫做系数矩阵，等号右边的列向量叫做常数向量
常数向量不为0的线性方程组叫做非齐次方程组。常数向量为0的线性方程组叫做齐次方程组
系数矩阵和常数向量合并后称为增广向量

2.1 矩阵的基本行变换：
两行相互交换
一行和不为0的系数相乘
把一行和一个不为0的系数相乘后的和 加到另一行上
ps 用行变换求解时，目标是把系数矩阵变换成它的最简形式

2.2 矩阵的最简形式
需要满足的条件：
对于每一个非0行，它的最左边的非0元素，即前导元素必须为1
每一个非0行均在全为0行的前面，即全0行在矩阵最底部
如果一行的前导元素在第j列，那么其他行在第j列的元素均为0
对任意两个非0行$i_2和i_1$,如果满足$i_2>i_1$，那么相应的前导元素分别位于$j_2，j_1$列，则必然$j_2>j_1$

2.3 求解矩阵的最简式

3、逆矩阵

一个n*n的矩阵M，若存在一个矩阵P，是的MP=PM=E,则矩阵M可逆，P为M的逆矩阵，记做$M^{-1}$。没有矩阵的矩阵叫做奇异矩阵。
ps：$M^T$是转置矩阵，即行与列互换

3.1 有一行或一列全为0的矩阵是不可逆的

4、行列式

行列式是矩阵的一种运算，代表一个数。
求值使用

4.1 行列式行变换的性质：
两行相互交换，行列式取反
矩阵中的一行乘以比例系数a则行列式也变成原来的a倍
把一行的若干倍加到另一行对行列式没影响

4.2 如果矩阵有相同的两行，则其行列式为0

5、特征值与特征向量

可逆矩阵必然存在一个向量，该向量与可逆方阵相乘时，方向不变，只有大小改变

n*n的矩阵M，存在非0的n维向量$V_1,V_2...V_n$满足$MV_i = \lambda_i$$V_i$
比例系数$\lambda_i$称为矩阵M的特征值，向量V是这些特征值的特征向量

特征值的计算：
det(M - $\lambda$I) = 0

5.1 对称矩阵
一个n*n矩阵，对于任意的i,j都有$M_{ij} = M_{ji}$，则为对称矩阵
即关于主对角线对称

6、对角化

对角矩阵就是只在主对角线有非0元素的矩阵。即一个n*n的矩阵是对角矩阵，必须满足$M_{ij}$=0 且 i != j