CSU 1325 A very hard problem （莫比乌斯反演）_csu 1325: a very hard problem-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/wing_wuchen/article/details/76861929

本文介绍了一种处理特定数学问题的方法，该问题涉及计算有序对的个数，使得这些对的公约数为给定整数的因子。通过使用莫比乌斯函数和分块技术，文章详细阐述了如何在多项式时间内解决这一问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

思路：

第二问直接处理得到。(如果你不懂这是为什么，请先去看上一篇入门篇）
关键是第一问，问的是gcd为p约数的有序对的个数。
举个栗子：p等于6
那么
$f(1) = \mu(1)*F(1*1) + \mu(2)*F(1*2) + \mu(3)*F(1*3) + \mu(4)*F(1*4) ...$
$f(2) = \mu(1)*F(2*1) + \mu(2)*F(2*2) + \mu(3)*F(2*3) + \mu(4)*F(2*4) ...$
$f(3) = \mu(1)*F(3*1) + \mu(2)*F(3*2) + \mu(3)*F(3*3) + \mu(4)*F(3*4) ...$
$f(6) = \mu(1)*F(6*1) + \mu(2)*F(6*2) + \mu(3)*F(6*3) + \mu(4)*F(6*4) ...$

所以我们要求的答案为 $f(1)+f(2)+f(3)+f(6)$
然后我们发现 $F(i)$ 之前的系数可以合并。所以我们直接在询问之前对于p的每个因数，预处理出系数来，复杂度大概是nlogn。

然后其实我们就可以对于每个询问 $(1,a)(1,b)$ 进行线性的计算就好了。代码如下：

int a,b;
cin>>a>>b;
for(int i = 1;i <= min(a,b);i++){
    ans += f[i]*(a/i)*(b/i);//f数组里存的即是F的系数
}

然而你要是真的这么干了，你会发现。。t了。。
所以需要一个更快的办法，分块。
先说思想的产生：由于 $F(i) = (a/i) * (b/i)$ ，所以我们可以看出当i处于某些区间段的时候， $F(i)$ 的值是一样的。所以分块就是基于此，但是还需要搞一个F系数的前缀和来求区间和，复杂度n，分块大概是sqrt（n）

#include<stdio.h>
#include <iostream>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<algorithm>
#define eps 1e-8
typedef long long int lli;
using namespace std;

const int maxn = 1e7+10;
bool isprime[maxn];
int prime[maxn];
char miu[maxn];
void moblus(){
    int cnt = 0;miu[1] = 1;
    for(lli i = 2;i < maxn;i++){
        if(!isprime[i]){
            prime[cnt++] = i,miu[i] = -1;//phi[i] = i-1;
        }
        for(lli j = 0;j < cnt && i*prime[j] < maxn;j++){
            lli x = prime[j];
            isprime[i*x] = 1;
            if(i%x){
                miu[i*x] = -miu[i];
                //phi[i*x] = phi[i] * phi[x];
            }
            else{
                miu[i*x] = 0;
                //phi[i*x] = phi[i] * x;
                break;
            }
        }
    }
}
int stak[100000],cnt;
int ff[maxn],sum[maxn];

int main(){
    lli p,q;
    scanf("%lld%lld",&p,&q);
    moblus();
    for(int i = 1;i <= p;i++){
        if(p%i==0){
            stak[++cnt]=i;
        }
    }
    for(int i = 1;i <= cnt;i++){
        for(lli j = 1;j*stak[i] <= maxn;j++){
            ff[j*stak[i]] += miu[j];
        }
    }
    for(int i = 1;i <= maxn;i++){
        sum[i] = sum[i-1] + ff[i];
    }
    while(q--){
        lli a,b;
        scanf("%lld%lld",&a,&b);
        if(a>b) swap(a,b);
        lli ans = 0,l;
        for(int j=1;j<=a;j=l+1){//分块加速
            l= min(a/(a/j),b/(b/j));
            ans += (lli)(sum[l]-sum[j-1])*(a/j)*(b/j);
        }
        printf("%lld %lld\n",ans,(a/p)*(b/p));
    }
    return 0;
}