HDU 4497 GCD and LCM （分解质因数）_4497分解质因数-优快云博客

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本文介绍了一种算法，用于解决寻找特定三元组数量的问题。这些三元组需满足最大公约数为G，最小公倍数为L的条件。通过质因数分解和组合数学的方法，给出了详细的解决方案及实现代码。

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题意：

给你G，L，问你以G为最大公约数且以L为最小公倍数的三元组（x，y，z）有多少种，注意：（1，2，3）和（1，3，2）是不同的。

思路：

我们要找满足 ${gcd(a,b,c) = G , lcm(a,b,c) = L}$ 的 a，b，c，所以如果存在的话，那么必有 ${ a =0\pmod G}$ ，bc同理。同时： ${L = 0 \pmod a}$ ，bc同理。
所以，直接判断L%G是否为零，如果不为零，则不可能出现这种情况。
下面讨论为零的情况：
将a，b，c，G，L分解质因数 ( ${p_i}$ 代表分解出来的素数 ${a_i}$ 代表次数(可以为0)，下同)：

a = p a 1 1 * p a 2 2 * p a 3 3 * p a 4 4 . . . . . .

${a = p_1^{a_1} * p_2^{a_2} * p_3^{a_3} * p_4^{a_4}......}$

b = p b 1 1 * p b 2 2 * p b 3 3 * p b 4 4 . . . . . .

${b = p_1^{b_1} * p_2^{b_2} * p_3^{b_3} * p_4^{b_4}......}$

c = p c 1 1 * p c 2 2 * p c 3 3 * p c 4 4 . . . . . .

${c = p_1^{c_1} * p_2^{c_2} * p_3^{c_3} * p_4^{c_4}......}$

G = p G 1 1 * p G 2 2 * p G 3 3 * p G 4 4 . . . . . .

${G = p_1^{G_1} * p_2^{G_2} * p_3^{G_3} * p_4^{G_4}......}$

L = p L 1 1 * p L 2 2 * p L 3 3 * p L 4 4 . . . . . .

${L = p_1^{L_1} * p_2^{L_2} * p_3^{L_3} * p_4^{L_4}......}$

由此可见，对于G来说：

G i = m i n (a i, b i, c i)

${G_i = min(a_i,b_i,c_i)}$
对于L来说：

L i = m a x (a i, b i, c i)

${L_i = max(a_i,b_i,c_i)}$

我们只要把所有的 ${(a_i,b_i,c_i)}$ 确定了，那么a，b，c就确定了，也就找到了一组解。
又因为上边的那两个式子，所以 ${(a_i,b_i,c_i)}$ 必满足最大的等于 ${L_i}$ 最小的等于 ${G_i}$ ，另外的则取这两个值之间的任意一个值，即 ${[G_i L_i]}$ ，也就可以转化一下：直接对L/G = k进行质因数分解，那么第三个数的取值范围就成了 ${[0,k_i]}$ ，然后计数即可。

举个例子：

${6，72}$
${k = 72 / 6 = 12}$
${k = 2^{2}*3^{1}}$
所以对于2这个素数来说，可知满足条件的前两个数为0，2 (为保证三个数gcd和lcm的规则，所以前两个数分别为gcd和lcm)，第三个数在[0,2]，当第三个数取0时，002这三个数可以有三种排列，当第三个数取2时，022可以有三种排列，当第三个数取1时，012有6种排列。
所以 3 + 3 + 6 = 12种。
然后对于素数3，可知满足条件的前两个数为0，1，第三个数在[0,1]，所以同理 3+3 = 6种排列。
所以最终答案是 12 * 6 = 72 种。
上边的对于素数的操作用公式表示即为： ${3 + 3 + (k_i-1) * 6}$
即为：

6 * k i

${6*k_i}$
最后把所有的乘起来就是答案了。

AC代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>

using namespace std;

int main()
{
    int t;
    cin>>t;
    int g,l;
    long long int ans;
    int m;
    while(t--){
        scanf("%d%d",&g,&l);
        if(l%g != 0){
            printf("0\n");
        }
        else{
            int k = l/g;
            ans = 1;
            m = 0;
            for(int i = 2;i <= k;i++){
                while(k % i == 0){
                    m++;
                    k /= i;
                }
                if(m != 0)
                    ans *= ( 6*m );
                m = 0;
            }
            printf("%I64d\n",ans);
        }
    }
    return 0;
}