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Fω∫−∞∞fte−jωtdtFω∫−∞∞​fte−jωtdt在广义傅里叶变换中，ft( f(t) )ft))不再局限于可积函数（绝对可积），而可以是更广泛的类函数，包括某些不连续的函数和分布式信号。这种定义使得傅里叶变换能够处理更多样的信号类型，如脉冲信号和冲击函数等。广义傅里叶变换的提出为傅里叶分析方法的发展提供了新的维度，使得信号处理的范围得以扩大。其对不连续和非平稳信号的应用，极大地丰富了信号处理的工具箱。

在本章中，我们将深入分析傅里叶变换的数学特性，重点关注偶奇性与线性特性。理解这些特性对于信号分析和处理具有重要的理论意义。在傅里叶变换中，输入信号 (f(t))( f(t) )(f(t)) 的偶奇性直接影响其变换结果的性质。我们首先定义信号的偶函数与奇函数：偶函数：若满足 (f(t)=f(−t))( f(t) = f(-t) )(f(t)=f(−t))，则称 (f(t))( f(t) )(f(t)) 为偶函数。偶函数的傅里叶变换满足如下关系：F(ω)=∫−∞∞f(t)e−jωt dt F(\omega)

周期函数是指其在某一特定区间内重复取值的函数。具体来说，一个函数fx( f(x) )fx))被称为周期函数，如果存在一个最小正数T( T )T使得对于所有的x( x )xfxTfxfxTfx其中，T( T )T被称为周期。傅里叶引入这一概念，旨在通过将复杂的非周期信号转换为简单的周期信号来分析和解决问题。设一个周期函数fx( f(x) )fx))的周期为T( T )Tfxa0∑n1∞ancos⁡2πnxTbn。