26、随机任务 - 资源系统的比较-优快云博客

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随机任务 - 资源系统的比较

在随机任务 - 资源系统的研究中，我们需要对任务和资源进行建模，并引入随机序来比较随机变量和过程。以下将详细介绍任务 - 资源模型以及常见的随机序。

任务 - 资源模型

任务（或作业）由其到达时间（或释放日期）和任务大小来表征。到达时间构成一个点过程 (0 \leqslant r_1 \leqslant r_2 \leqslant r_3 \leqslant \cdots)，任务大小构成实数序列 (\sigma_1, \sigma_2, \cdots)。我们还使用到达间隔时间，(\tau_1 = r_1)，(\tau_i = r_i - r_{i - 1})（(i \geqslant 2)）。资源由其数量 (m \in \mathbb{N} \cup {+\infty}) 和各自的速度 (v_1, \cdots, v_m) 来表征。任务大小以秒为单位，即速度为 1 的资源处理一个任务所需的时间。

一旦任务和资源确定，系统仍未完全定义。系统设计者还需要考虑资源之间的同步和任务之间的通信。此外，任务和资源可能受到依赖关系、可用性条件以及任务与资源之间匹配的约束。系统确定后，我们的目标是根据给定的标准（通常是完成时间或响应时间）分析最佳分配策略（哪个任务在哪个机器上执行）和最佳调度策略（每个资源上任务的执行顺序）。

静态系统

静态任务 - 资源系统由有限数量的任务（(N)）和资源（(m)）组成。我们可以将静态模型视为一个算子 (\varphi)，其输入是外生数据（任务的到达时间、大小、处理器速度）(X = \varphi(Z_1, \cdots, Z_N))，输出 (X) 对应系统的状态，系统设计者感兴趣的量（如总完成时间、所有任务的离开时间、响应时间、伸缩性等）是 (X) 的函数 (h)。

以下是一些静态系统作为输入/输出算子的示例：
- (1||C_{max}) 调度问题 ：(X = C_{max} = \varphi(\sigma_1 \cdots \sigma_N) \triangleq \sum_{i} \sigma_i)，这种情况很直接，实际上没有进行调度。
- (1|| \sum C_i) 调度问题 ：(X = \varphi(\sigma_1 \cdots \sigma_N) \triangleq \min_{\alpha \in perm{1 \cdots N}} \sum_{i = 1}^{N} (N - i + 1) \sigma_{\alpha(i)})，这是一个著名的问题，在对任务大小进行适当的随机假设下也可以解决。
- (P_{\infty}|prec|C_{max}) 调度问题 ：该系统也称为 PERT 图。这里，(C_{max} = \varphi(\sigma_1 \cdots \sigma_N) \triangleq \max_{c \in P(G)} \sum_{i \in c} \sigma_i)，其中 (G) 是任务的无环优先图，(P(G)) 是 (G) 中的路径集。同样，这里没有进行调度，目标是计算总完成时间。

动态系统

另一个主要类别是系统具有无限时间范围（无限数量的任务）。在这种情况下，我们考虑任务 - 资源系统，其中无限数量的任务根据到达时间序列 (r_1 \leqslant \cdots \leqslant r_n \leqslant \cdots) 到达系统，且 (n) 趋于无穷时该序列趋于无穷（序列没有聚点）。

动态模型可以用一个由 (n) 索引的算子来建模：(X_n = \varphi_n(X_{n - 1}, Z_n))（(\forall n \geqslant 0)）。(Z_n) 对应外生过程的一个点（到达时间、大小、资源可用性），(X_n) 是系统在第 (n) 步的状态，感兴趣的量是 (X_1 \cdots X_n) 的函数序列。

以下是无限任务图系统算子定义的一些示例：
- 单资源和无限任务系统 ：考虑一个具有一个资源和无限数量任务的系统，任务按先来先服务（FCFS）方式处理，我们想计算任务的响应时间。这个问题可以写成：(1|r_j|W_j = C_j - r_j)。这里 (W_j) 对应任务 (j) 的响应时间：(W_j = C_j - r_j)，在调度文献中通常记为 (T_j)。这个量满足 (W_j = \varphi(W_{j - 1}, \tau_j, \sigma_j) = \max(W_{j - 1} + \sigma_j - \tau_j, \sigma_j))。这个递推公式类似于 Lindley 公式，可以通过归纳法求解为 (W_j = \max_{k = 1 \cdots j} \sum_{i = k}^{j} \sigma_i - (r_i - r_{i - 1})) 或 (W_j = \sigma_j)（如果前面的量小于 (\sigma_j)）。
- 更复杂的系统 ：例如，计算 (m) 个速度分别为 (v_1, \cdots, v_n) 且总和为 1 的处理器上单位任务（(\sigma_i = 1)）的最佳平均响应时间。这是一个调度问题，可以表示为 (Q_m|r_j| \sum_{i} W_i)，可以用马尔可夫决策过程建模。最佳平均响应时间（记为 (J)）是著名的 Bellman 方程的解。

下面用 mermaid 流程图展示任务 - 资源系统的分类：

graph LR
    A[任务 - 资源系统] --> B[静态系统]
    A --> C[动态系统]
    B --> B1["1||C_{max} 调度问题"]
    B --> B2["1|| \sum C_i 调度问题"]
    B --> B3["P_{\infty}|prec|C_{max} 调度问题"]
    C --> C1["单资源和无限任务系统"]
    C --> C2["更复杂的系统"]

随机序

随机序用于比较随机变量和过程，下面将介绍常见的随机序。

实随机变量的序

比较两个随机变量有两种明显的方法：
- 几乎必然序 ：若 (P(X \leqslant Y) = 1)（记为 (X \leqslant_{as} Y)），则称 (X) 小于 (Y)。这种比较方式可能太强，因为它涉及 (X) 和 (Y) 的分布以及它们的联合分布，两个独立的随机变量无论其在共同域上的分布如何都无法用这种方式比较，这削弱了该序的实用性。
- 期望序 ：若 (E(X) \leqslant E(Y))（记为 (X \leqslant_{\mu} Y)），则称 (X) 小于 (Y)。这种粗略的比较在线性上下文中效果很好，但一旦使用非线性动态，基于期望的比较可能会失效。

以下是一个示例，说明比较输入的期望并不能帮助比较期望输出：
考虑一个由周期性任务和一个资源组成的系统。在第一种情况下，每 4 秒到达一个大小为 4 的任务，即 (r_i = 4i + X)，(\sigma_i = 4)（(\forall i \in \mathbb{N})），其中 (X) 是一个具有有限期望的实随机变量，表示系统开始的时刻。到时间 (t) 的每秒负载为 (L(t) = \sum_{i = 0}^{\lfloor (t - X) / 4 \rfloor} \sigma_i / t)，根据 Wald 定理，单位时间的期望负载满足 (4 / t ((t - E(X)) / 4 - 1) \leqslant E(L(t)) \leqslant (t - E(X)) / t)。由于 (X) 具有有限期望，当 (t) 趋于无穷时，每秒的期望负载趋于 1，即 (E(L(t)) \to 1 = E(L))。

在第二种情况下，任务大小为 4，在 (10n + Y) 和 (10n + 1 + Y) 时刻到达（(\forall n)，(Y) 是一个具有有限期望的随机初始时间）。到时间 (t) 的每秒期望负载为 (L’(t) = \sum_{i = 0}^{N(t)} \sigma’_i / t)，其中 (N(t) = \lfloor (t - Y) / 10 \rfloor + \lfloor (t - Y - 1) / 10 \rfloor)。根据 Wald 定理，(4 / t ((t - E(Y)) / 10 - 1 + (t - E(Y) - 1) / 10 - 1) \leqslant E(L’(t)) \leqslant 4 (t - E(Y)) / 10 + 4 (t - E(Y) - 1) / 10)。由于 (Y) 具有有限期望，当 (t) 趋于无穷时，每秒的期望负载趋于 (8 / 10)，即 (E(L’(t)) \to 8 / 10 = E(L’))。因此，(E(L) \geqslant E(L’))。

考虑任务的期望响应时间 (W)，在第一种情况下，没有任务等待资源，因此 (W_i = 4)（(\forall i)），所以 (E(W) = 4)；在第二种情况下，偶数任务不等待资源，(W_{2i} = 4)，奇数任务等待一个时间单位，(W_{2i + 1} = 5)，因此第二种系统的期望响应时间为 (E(W’) = 9 / 2)，所以 (E(W’) \geqslant E(W))。

以下是一些常见的实随机变量序：
- 强序：实随机变量 (X) 对于强序小于实随机变量 (Y)（记为 (X \leqslant_{st} Y)），如果对于所有 (t \in \mathbb{R})，(F_X(t) \geqslant F_Y(t))（或 (P(X \leqslant t) \geqslant P(Y \leqslant t))，或 (P(X > t) \leqslant P(Y > t))）。强序有几个等价的刻画：
- 存在两个变量 (X’) 和 (Y’)，分别与 (X) 和 (Y) 具有相同的分布，使得对于所有 (\omega \in \Omega)，(X’(\omega) \leqslant Y’(\omega))。
- 对于所有递增函数 (f)，当期望存在时，(E(f(X)) \leqslant E(f(Y)))。
- 强序具有许多有趣的性质，例如：对于正变量，强序比较所有矩；(X \leqslant_{st} Y) 且 (E(X) = E(Y)) 意味着 (F_X = F_Y)；如果 (Z) 与 (X) 和 (Y) 独立，且 (X \leqslant_{st} Y)，则对于任何在第一个参数上非递减的函数 (f)，(f(X, Z) \leqslant_{st} f(Y, Z))；如果 ((X_n) {n \in \mathbb{N}}) 和 ((Y_n) {n \in \mathbb{N}}) 是随机变量序列，使得对于所有 (n)，(X_n \leqslant_{st} Y_n)，则 (\lim_n X_n \leqslant_{st} \lim_n Y_n)。
- 更强的序 ：
- 危险率序 ：(X) 的危险率（或故障率）定义为 (r_X(t) \triangleq \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{P(X < t + \varepsilon | X > t)}{\varepsilon} = \frac{f_X(t)}{1 - F_X(t)} = -\frac{d}{dt} \ln(1 - F_X(t)))。如果 (r_X(t) \geqslant r_Y(t))（(\forall t \in \mathbb{R})），则 (X \leqslant_{hr} Y)。危险率序的主要性质包括：在老化过程中保持不变；比强序更强；如果 (X \leqslant_{hr} Y)，则存在两个随机变量 (X^ ) 和 (Y^ )，分别与 (X) 和 (Y) 具有相同的分布，使得对于所有满足 (g(x, y) - g(y, x)) 在 (x) 上递增（(\forall x \geqslant y)）的 (g)，(E(g(X^ , Y^ )) \leqslant E(g(Y^ , X^ )))。
- 似然比序 ：设 (U = [a, b])，(V = [c, d])，其中 (a < c) 且 (b < d)。如果 (P(X \in V) P(Y \in U) \leqslant P(X \in U) P(Y \in V)) 或等价地 ((X | X \in U) \leqslant_{st} (Y | Y \in U))，则 (X \leqslant_{lr} Y)。似然比序比危险率序更强，并且如果 (X \leqslant_{lr} Y)，则存在两个随机变量 (X^ ) 和 (Y^ )，分别与 (X) 和 (Y) 具有相同的分布，使得对于所有满足 (g(x, y) - g(y, x) \geqslant 0)（(\forall x \geqslant y)）的函数 (g)，(E(g(X^ , Y^ )) \leqslant E(g(Y^ , X^ )))。
- 凸序：
- 凸序：如果对于所有凸函数 (f)，当期望存在时，(E(f(X)) \leqslant E(f(Y)))，则 (X \leqslant_{cx} Y)。(X \leqslant_{cx} Y) 意味着 (E(X) = E(Y))，并且 (var(X) \leqslant var(Y))。
- 递增凸序 ：如果对于所有递增凸函数 (f)，当期望存在时，(E(f(X)) \leqslant E(f(Y)))，则 (X \leqslant_{icx} Y)。
- 凸序的最重要性质是 Strassen 表示定理：(X \leqslant_{cx} Y) 当且仅当存在两个变量 (X’) 和 (Y’)，分别与 (X) 和 (Y) 具有相同的分布，使得 (X’ = E(Y’ | X’))；(X \leqslant_{icx} Y) 当且仅当存在 (Z_1)（或 (Z_2)）使得 (X \leqslant_{st} Z_1 \leqslant_{cx} Y)（或 (X \leqslant_{cx} Z_2 \leqslant_{st} Y)）。

以下是随机序之间的关系：
(\leqslant_{as} \to \leqslant_{lr} \to \leqslant_{hr} \to \leqslant_{st} \to \leqslant_{icx} \to \leqslant_{\mu})
(\leqslant_{as} \to \leqslant_{cx} \to \leqslant_{icx} \to \leqslant_{\mu})

下面的表格总结了这些随机序的特点：
| 随机序 | 定义 | 特点 |
| ---- | ---- | ---- |
| (\leqslant_{as}) | (P(X \leqslant Y) = 1) | 要求联合分布，独立性时无法比较 |
| (\leqslant_{lr}) | (P(X \in V) P(Y \in U) \leqslant P(X \in U) P(Y \in V)) | 最强的序，保持 st 序 |
| (\leqslant_{hr}) | (r_X(t) \geqslant r_Y(t)) | 老化时保持不变，比 st 序强 |
| (\leqslant_{st}) | (F_X(t) \geqslant F_Y(t)) | 常见的随机序 |
| (\leqslant_{icx}) | (E(f(X)) \leqslant E(f(Y)))（(f) 为递增凸函数） | 结合强序和凸序 |
| (\leqslant_{cx}) | (E(f(X)) \leqslant E(f(Y)))（(f) 为凸函数） | 比较变异性 |
| (\leqslant_{\mu}) | (E(X) \leqslant E(Y)) | 粗略的比较 |

当比较有限或无限的实随机变量序列时，由于变量的联合分布会在比较中起作用，情况变得更加复杂。在单变量情况下，积分定义与分布条件一致，但在多维情况下不再如此。因此，我们引入了三种序，这部分内容将在下半部分详细介绍。

随机任务 - 资源系统的比较

多维随机变量的序

当我们要比较有限或无限的实随机变量序列时，情况变得更加复杂，因为变量的联合分布会在比较中起到重要作用。在单变量情形下，积分定义与分布条件是等价的，即对于所有递增函数 (f) 有 (E(f(X)) \leqslant E(f(Y))) 等价于 (P(X \leqslant x) \geqslant P(Y \leqslant x))，也等价于 (P(X > x) \leqslant P(Y > x))。但在多维情形下，情况并非如此，因为除了上、下正交域外，还有其他集合可以进行比较。

为此，我们引入以下三种序：
1. 分量序 ：设 (\mathbf{X}=(X_1,X_2,\cdots,X_n)) 和 (\mathbf{Y}=(Y_1,Y_2,\cdots,Y_n)) 是两个 (n) 维随机向量。如果对于所有的 (i = 1,2,\cdots,n)，都有 (X_i\leqslant_{st}Y_i)，则称 (\mathbf{X}) 在分量序下小于等于 (\mathbf{Y})，记为 (\mathbf{X}\leqslant_{c}\mathbf{Y})。分量序是一种比较直观的序，它只考虑了每个分量之间的随机序关系，但没有考虑分量之间的相关性。
2. 多元强序 ：(\mathbf{X}) 小于等于 (\mathbf{Y})（记为 (\mathbf{X}\leqslant_{mst}\mathbf{Y})），如果对于所有的上正交域 (A={(x_1,x_2,\cdots,x_n):x_1 > a_1,x_2 > a_2,\cdots,x_n > a_n})，都有 (P(\mathbf{X}\in A)\leqslant P(\mathbf{Y}\in A))。多元强序考虑了随机向量在高维空间中的整体分布情况，比分量序更严格。
3. 多元凸序 ：如果对于所有的多元凸函数 (f)，当期望存在时，有 (E(f(\mathbf{X}))\leqslant E(f(\mathbf{Y})))，则称 (\mathbf{X}) 在多元凸序下小于等于 (\mathbf{Y})，记为 (\mathbf{X}\leqslant_{mcx}\mathbf{Y})。多元凸序主要用于比较多维随机变量的变异性。

下面的表格总结了这三种多维随机变量序的特点：
| 随机序 | 定义 | 特点 |
| ---- | ---- | ---- |
| (\leqslant_{c}) | 每个分量 (X_i\leqslant_{st}Y_i) | 只考虑分量间随机序，未考虑相关性 |
| (\leqslant_{mst}) | 对于所有上正交域 (A)，(P(\mathbf{X}\in A)\leqslant P(\mathbf{Y}\in A)) | 考虑高维整体分布，比分量序严格 |
| (\leqslant_{mcx}) | 对于所有多元凸函数 (f)，(E(f(\mathbf{X}))\leqslant E(f(\mathbf{Y}))) | 比较多维变异性 |

这三种序之间存在一定的关系，一般来说，(\leqslant_{mst}) 蕴含 (\leqslant_{c})，而 (\leqslant_{mcx}) 与其他两种序之间没有直接的蕴含关系，但在某些特殊情况下可能会有联系。

下面用 mermaid 流程图展示多维随机变量序之间的关系：

graph LR
    A[多维随机变量序] --> B[分量序 \(\leqslant_{c}\)]
    A --> C[多元强序 \(\leqslant_{mst}\)]
    A --> D[多元凸序 \(\leqslant_{mcx}\)]
    C --> B

随机任务 - 资源系统中的应用

随机序在随机任务 - 资源系统中有广泛的应用，下面我们通过一些具体的例子来进行说明。
1. 任务调度决策 ：在任务调度问题中，我们可以利用随机序来比较不同调度策略下的性能指标。例如，在一个多处理器系统中，有多个任务需要分配到不同的处理器上进行处理。假设我们有两种调度策略 (S_1) 和 (S_2)，它们产生的任务完成时间分别为随机变量 (C_1) 和 (C_2)。如果 (C_1\leqslant_{st}C_2)，那么从随机序的角度来看，策略 (S_1) 更优，因为它有更大的概率使得任务更早完成。
2. 资源分配优化 ：在资源分配问题中，我们可以根据随机序来选择最优的资源分配方案。例如，有多个任务和多个资源，每个任务的处理时间和每个资源的处理能力都是随机变量。我们可以通过比较不同资源分配方案下任务的完成时间、响应时间等性能指标的随机序，来选择最优的分配方案。
3. 系统性能评估 ：随机序可以用于评估随机任务 - 资源系统的性能。例如，我们可以比较不同系统配置下（如不同的处理器数量、不同的任务到达率等）系统的平均响应时间、吞吐量等性能指标的随机序，从而评估系统的优劣。

假设我们有一个任务 - 资源系统，其中任务的到达时间和处理时间都是随机变量，资源的处理速度也是随机变量。我们可以按照以下步骤进行系统性能评估：
1. 定义系统的性能指标，如任务的完成时间、响应时间、系统的吞吐量等。
2. 确定不同的系统配置或调度策略。
3. 对于每种系统配置或调度策略，模拟任务的到达和处理过程，得到性能指标的样本数据。
4. 根据样本数据估计性能指标的分布函数。
5. 比较不同系统配置或调度策略下性能指标的随机序，选择最优的方案。