31、基于APN函数的S盒二次方程分析

基于APN函数的S盒二次方程分析

在密码学领域，S盒的安全性至关重要。本文将围绕如何衡量S盒对代数攻击的抵抗能力，以及如何分析基于几乎完美非线性（APN）函数的S盒中的线性无关双仿射和二次方程展开探讨。

1. 代数系统复杂度与S盒安全性

为了衡量使用XSL算法求解代数系统的复杂度，定义了参数Γ：
[
\Gamma = \frac{(t - r)/n}{(t/r)/n}
]
其中，r是方程的数量，t是方程中单项式的数量。若(\Gamma \geq 2^{32})，则认为S盒是安全的，即((t - r)/n)不应小于10。以AES S盒为例，其(\Gamma = 2^{22.9})。虽然算法的改进可能会改变求解问题的方式，但Γ在一定程度上反映了求解多元方程的难度，可用于估计S盒对代数攻击的抵抗能力。

2. 预备知识

2.1 符号说明

• 权重（weight） ：n的二进制表示中1的个数称为n的权重，记为(wt(n))，在文中简记为wt。
• 函数集合 ：设F是从(GF(2^n))到(GF(2))的函数集合，B是n元布尔函数集合。从(F^{2^n})到(F^{2^m})的函数称为向量布尔函数，当m = 1时，即为布尔函数。
• 同构映射 ：设({\omega_0, \omega_1, \cdots, \omega_{n - 1}})是(F^{2^n})的一组基，则存在同构映射(\varphi: F^{2^n} \to F^{2^n})，使