20130709 【南华大学 ACM】新生赛第二场【G. Matrix】

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/wilson1068/article/details/9304891

本文探讨了稀疏矩阵乘法的有效计算方法，针对仅包含0或1元素的矩阵A，通过分析矩阵A的特性，提出了利用点坐标排序来优化计算AAT的方法，以减少重复计算并提高效率。

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Problem G: Matrix

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Description

To efficient calculate the multiplication of a sparse matrix is very useful in industrial filed. Let’s consider

this problem:

A is an N*N matrix which only contains 0 or 1. And we want to know the result of AA^T.

Formally, we define B = AA^T, Aij is equal to 1 or 0, and we know the number of 1 in matrix A is M

and your task is to calculate B.

Input

The input contains several test cases. The first line of input contains a integer C indicating the number

of the cases.

For each test case, the first line contains two integer N and M.

and each of next M lines contains two integer X and Y , which means Axyis 1.

N ≤ 100000, M ≤ 1000, C ≤ 10

Output

For each test case, it should have a integer W indicating how many element in Matrix B isn’t zero in one

line.

Sample Input

Sample Output

3
9

HINT

A^Tmeans the Transpose of matrix A, for more details, A^Tij= Aji.

eg:

if Matrix A is:

123

456

789

then the matrix ATis

147

258

369

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解题报告：

以3阶矩阵为例：

|a11 a12 a13| |a11 a21 a31|
B= A*AT = |a21 a22 a23|* |a12 a22 a32| =

|a31 a32 a33| |a13 a23 a33|

|a11*a11+a12*a12+a13*a13 a11*a21+a12*a22+a13*a23 a11*a31+a12*a32+a13*a33|
|a21*a11+a22*a12+a23*a13 a21*a21+a22*a22+a23*a23 a21*a31+a22*a32+a23*a33| |a31*a11+a32*a12+a33*a13 a31*a21+a32*a22+a33*a23 a31*a31+a32*a32+a33*a33|

1）矩阵(方阵)行、列数，最大为 n=100000 ，如果直接申请二维数组会爆掉（10^10）.

2）仔细观察题目，发现矩阵中（方阵）最多只有 m=1000 个点为“1”，其余都为“0”。

3）显然，该题的破解就需要从点着手。

建立结构体存储点的横，纵坐标(x,y)；
分析矩阵乘法的规律（上面以3阶矩阵为例）：
x 与 x` 决定矩阵B中第 x 行，第 x` 列的位置；
显然，与Axy项相乘的项Ax`y`，y 值必然相等( y==y` )；
又由矩阵乘法规律，当 ( y==y` && x==x` )时，非0点有+1个；
而当只有( y==y` )，非0点重复。(+2)
【如:a11*a21存在(第1行第2列)，则矩阵B第2行第1列(a21*a11也存在)值也非0。】
由此，当( y==y`)时，若( x==x` )count++;否则（x!=x`）count+=2;

但由此，会引来重复计算问题:
【如:a12*a22存在(第1行第2列)，则矩阵B第2行第1列(a22*a12也存在)值也非0。】
【但由上可知count已经+2了，如果再执行count+=2，就会导致重复。】

为了解决这种问题。
记录点坐标时，采用快速排序qsort(……)（包含头文件stdlib.h）；
对记录点坐标的结构体数组排序（由小到大，先按x值排序，次按y值排序）；
排序后进行 y值比较，判断x的情况，进行count增加。
情况如下图：
用x1,x2记录（判断x的情况，进行count增加时）的x与x` ；
得，判断条件(用来排除重复情况)：( ( x>x1 || x`>x2 ) && ( x>x2 || x>x1 ) )。

代码如下（比较原始，很多没有跟上面讲到的符号匹配）。

语言乏力，请原谅……

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代码：

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>

struct p
{
	int x,y;
}p[1005],re[1005];

int qcmp(const void *a,const void *b)
{
	if( a>b )		return 1;
	else if( a<b )		return -1;
	return 0;
}

int main()
{
	int t,n,m,i,j,h,k,count,x,y;		
	scanf("%d",&t);
	while( t-- )
	{
		scanf("%d%d",&n,&m);
		for(count=h=i=0;i<m;i++)
			scanf("%d%d",&p[i].x,&p[i].y);
		qsort(p,m,sizeof(p[0]),qcmp);
		for(x=y=-1,i=0;i<m;i++)
			for(j=i;j<m;j++)
				if( ( p[i].y == p[j].y )
				 && ( p[i].x>x || p[j].x>y ) 
				 && ( p[i].x>y || p[j].x>x ) )
				{
					x=p[i].x;
				 	y=p[j].x;
					if( x == y )
						count++;
					else
						count+=2;
				}
		printf("%d\n",count);
	}
	return 0;
}