二分图的最大匹配

二分图最大匹配问题在实际中有很多应用。

首先介绍一下二分图和匹配的相关概念：

二分图：是指节点可以被划分成两个不想交的子集L和R，每个部分内没有边的图，即所有边都横跨L和R。

匹配：是边的一个子集，使得对所有节点v,子集中最多只有一条边以v为端点。最大匹配是该子集所包含边的最大数目。

求二分图的最大匹配有两种方法，一种是通过将二分图的最大匹配转换为最大流问题来解决，算法复杂度比较高。还有一种是经典的匈牙利法，其核心思想是每次找到增广路径，将增广路径的奇数条边加入到原匹配中，并将偶数条边从原匹配中删除。下面介绍一下增广路径的概念和找法。

这里的增广路径不同于最大流中的增广路径，在这里是指起点和终点都在左集合中，路径中交错的排放着在匹配中的边和不在匹配中的边（在，不在。。。。在的顺序）。可以证明不存在增广路径时的匹配即为最大匹配。

至于如何求增广路径，可以使用深搜，模板代码类似于：

模板一：匈牙利算法

/* **************************************************************************
//二分图匹配（匈牙利算法的DFS实现）
//初始化：g[][]两边顶点的划分情况
//建立g[i][j]表示i->j的有向边就可以了，是左边向右边的匹配
//g没有边相连则初始化为0
//uN是匹配左边的顶点数，vN是匹配右边的顶点数
//调用：res=hungary();输出最大匹配数
//优点：适用于稠密图，DFS找增广路，实现简洁易于理解
//时间复杂度:O(VE)
//***************************************************************************/
//顶点编号从0开始的
const int MAXN=510;
int uN,vN;//u,v数目
int g[MAXN][MAXN];
int linker[MAXN];
bool used[MAXN];
bool dfs(int u)//从左边开始找增广路径
{
    int v;
    for(v=0;v<vN;v++)//这个顶点编号从0开始，若要从1开始需要修改
      if(g[u][v]&&!used[v])
      {
          used[v]=true;
          if(linker[v]==-1||dfs(linker[v]))
          {//找增广路，反向
              linker[v]=u;
              return true;
          }
      }
    return false;//这个不要忘了，经常忘记这句
}
int hungary()
{
    int res=0;
    int u;
    memset(linker,-1,sizeof(linker));
    for(u=0;u<uN;u++)
    {
        memset(used,0,sizeof(used));
        if(dfs(u)) res++;
    }
    return res;
}

该算法思路比较简单，从左集合的第一个元素开始查找增广路径，找的过程中使用dfs，并通过改变linker来记录当前的增广路径，共需要调用左集合数目多遍。需要稍微注意的是每次调用hungary找增广路径时，为了防止找到之前已经在路径中的点造成死循环，需要使用used来记录当前搜索中已经在路径中的点。