图论基础与应用-优快云博客

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第五章图

（一）图的基本概念

1 图的定义

图G由顶点集V和边集E组成，记为G=(V，E)，V(G)表示图G中顶点的有限非空集。用|V|表示图G中顶点的个数，也称为图G的阶。E(G)表示图G中顶点之间的关系（边）集合。用|E|表示图G中边的条数。

2 有向图

有向边（弧）的有限集合

3 无向图

无向边（边）的有限集合

4 简单图

不存在顶点到自身的边
同一条边不重复出现

5 多重图

若图G中某两个结点之间的边数多于一条
又允许顶点通过同一条边和自己关联

6 完全图

无向完全图

如果任意两个顶点之间都存在边

有向完全图

如果任意两个顶点之间都存在方向相反的两条弧

7 子图

设又两个图G=(V,E)和G’=(V’,E’)，若V’是V的子集，且E’是E的子集，则称G’是G的子图

8 连通图

图中任意两个顶点都是连通的

连通

顶点V到顶点V’有路径

连通分量

无向图中的极大连通子图

子图
连通
顶点足够多；极大连通子图包含依附这些顶点所有边

找连通分量的方法

从选取一个顶点开始，以这个顶点作为一个子图，然后逐个添加于这个子图相连的顶点和边，直到所有相连的顶点都加入该子图

结论1

如果一个图有n个顶点，并且有小于n-1条边，则此图必是非连通图

9 强连通图

图中任一对顶点都是强连通的

强连通

顶点V到顶点W和顶点W到顶点V都是有路径

强连通分量

子图
强连通
极大：顶点足够多；极大强连通子图包含依附这些顶点的所有边

10 连通图的生成树

包含图中全部n个顶点，但是n-1条边的极小连通子图

非连通图的生成森林

每个连通分量的生成树构成生成森林

结论2

生成树去掉一条边则变成非连通图，加上一条边就会形成回路。

11 度

有向图

入度（ID）：以顶点v为终点的有向边的数目

出度（OD）：以顶点v为起点的有向边的数目

无向图

依附该顶点的边的条数，记作TD(v)

有向树

有一个顶点的入度为0，其余顶点的入度均为1的有向图

12 权和网

图中每条边可以赋予一定意义的数值，这个数值叫做这条边的权，有权值的图称为带权图，也叫做网

13 路径和路径长度

顶点p和q之间的路径是指顶下序列p,a,b,c,d···q。路径上边的数目就是路径长度

简单路径

顶点不重复出现的路径称为简单路径

14 回路（环）

第一个和最后一个顶点相同的路径称为回路或环

简单回路

对于回路，除了第一个和最后一个顶点，其余顶点不重复出现的回路称为简单回路

16 距离

从顶点u到v的最短路径长度，不存在路径为无穷

（二）图的存储结构

1 邻接矩阵（顺序存储）

二维数组就是一维数组的拓展，相当于一维数组中每个元素也是一个一维数组。二维数组也叫做邻接矩阵。无向图的邻接矩阵是一个对称矩阵

顶点：用一维数组来存储
边或弧：用二维数组来存储

无向图

1.判定两个顶点是否有边

2.求某个顶点的度

3.找到某个顶点的所有邻接点

有向图

1.顶点的入度是顶点所在这一列的各数之和；出度是顶点所在这一行的各数之和。

2.判定两个顶点是否有边

3.找到某个顶点的所有邻接点

带权图（网）

1、带权边存储权值

2、行和列相同结点权值为0

3、不存在的边权值为无限大

2 邻接表（链式存储）

图的顶点用一个一维数组存储。同时每个元素还要存储指向第一个邻接点的指针(链表的头指针)。存储顶点和头指针的表叫顶点表

图的每个顶点的所有邻接点构成一个单链表。对于无向图，这个表称为该结点的边表，对于有向图称为该结点的出边表

需要设计两种结点结构类型：一是顶点表的顶点，二是单链表的结点

十字链表（有向图）

十字链表是针对有向图的存储方式，对应于有向图中的每条弧有一个结点，对应于每个顶点也有一个结点

在这里插入图片描述
其实十字链表是在邻接表的基础上进行了优化。在十字链表中不仅包含了邻接表本身就包含的结点出度结点，而且还包含了入度结点的信息。

在这里插入图片描述

邻接多重表（无向图）

（三）图的遍历

1 图的遍历的定义

从图中某一顶点出发访遍图中其余顶点，且使每一个顶点仅被访问一次，这个过程就叫做图的遍历

解决办法：设置一个访问数组,记录遍历过程中访问过的顶点。

2 深度优先遍历（BFS）

广度优先搜索(BFS:Breadth-First-Search):广度优先搜索类似于树的层序遍历算法

空间复杂度

BFS需要借助一个队列，n个顶点均需要入队一次，所以最坏情况下n个顶点在队列，那么则需要O(|V|)的空间复杂度。

时间复杂度

1)邻接表：每个顶点入队一次，时间复杂度为O(|V|),对于每个顶点，搜索它的邻接点，就需要访问这个顶点的所有边，所以时间复杂度为O(|E|)。所以总的时间复杂度为O(|V|+|E|)

2)邻接矩阵：每个顶点入队一次，时间复杂度为O(|V|),对于每个顶点，搜索它的邻接点，需要遍历一遍矩阵的一行，所以时间复杂度为O(|V|),所以总的时间复杂度为O(|V|2)

BFS应用

BFS解决单源非带权图最短路径问题：按照距离由近到远来遍历图中每个顶点

3 广度优先遍历（DFS）

空间复杂度

由于DFS是一个递归算法，递归是需要一个工作栈来辅助工作，最多需要图中所有顶点进栈，所以时间复杂度为O(|V|)

时间复杂度

1)邻接表：遍历过程的主要操作是对顶点遍历它的邻接点，由于通过访问边表来查找邻接点，所以时间复杂度为O(|E|),访问顶点时间为O(|V|),所以总的时间复杂度为O(|V|+|E|)

2)邻接矩阵：查找每个顶点的邻接点时间复杂度为O(|V|),对每个顶点都进行查找，所以总的时间复杂度为O(|V|2)

（四）图的应用——最小生成树

1 普利姆(Prim)算法

①从图中找第一个起始顶点v0，作为生成树的第一个顶点，然后从这个顶点到其他顶点的所有边中选一条权值最小的边。然后把这条边的另一个顶点v和这条边加入到生成树中。

②对剩下的其他所有顶点，分别检查这些顶点与顶点v的权值是否比这些顶点在lowcost数组中对应的权值小，如果更小，则用较小的权值更新lowcost数组。

③从更新后的lowcost数组中继续挑选权值最小而且不在生成树中的边，然后加入到生成树。

④反复执行②③直到所有所有顶点都加入到生成树中。

2 克鲁斯卡尔算法思路

将图中边按照权值从小到大排列，然后从最小的边开始扫描，设置一个边的集合来记录，如果该边并入不构成回路的话，则将该边并入当前生成树。直到所有的边都检测完为止。

（五）图的应用——最短路径

1 迪杰斯特拉算法

该算法设置一个集合S记录已求得的最短路径的顶点，可用一个数组s[]来实现，初始化为0，当s[vi]=1时表示将顶点vi放入S中，初始时把源点v0放入S中。此外，在构造过程中还设置了两个辅助数组：

dist[]：记录了从源点v0到其他各顶点当前的最短路径长度，dist[i]初值为arcs[v0][i]。

path[]：path[i]表示从源点到顶点i之间的最短路径的前驱结点，在算法结束时，可根据其值追溯得到源点v0到顶点vi的最短路径。

假设从顶点0出发，也就是顶点0为源点，集合S最初只包含顶点0，邻接矩阵arcs表示带权有向图，arcs[i][j]表示有向边<i，j>的权值，若不存在有向边<i，j>，则arcs[i][j]为∞。Dijkstra算法的步骤如下：

1）初始化：集合S初始为{0}，dist[]的初始值dist[i]=arcs[0][i]，i=1，2，…，n-1。

2）找出dist[]中的最小值dist[j]，将顶点j加入集合S，即修改s[vj]=1。

3）修改从v0出发到集合V-S上任一顶点vk可达的最短路径长度：如果dist[j] +
arcs[j][k]< dist[k]，则令dist[k]=dist[j] +
arcs[j][k]。另外更新path[k]=j(也就是顶点j加入集合之后如果有新的路径使得到顶点k路径变短的话就将到顶点k的路径长度修改成较短的)

4）重复2）～3）操作共n-1次，直到所有的顶点都包含在S中。

2 弗洛伊德算法

递推产生一个n阶方阵序列A(−1)，A(0)，…，A(k)，…，A(n−1)，其中A(k)[i][j]表示从顶点vi到顶点vj的路径长度，k表示绕行第k个顶点的运算步骤。初始时，对于任意两个顶点vi和vj，若它们之间存在边，则以此边上的权值作为它们之间的最短路径长度；若它们之间不存在有向边，则以∞作为它们之间的最短路径长度。以后逐步尝试在原路径中加入顶点k(k=0，1，…，n-1)作为中间顶点。如果增加中间顶点后，得到的路径比原来的路径长度减少了，则以此新路径代替原路径。