Hdu 3929 Big Coefficients (容斥原理二项式性质)

最新推荐文章于 2024-02-18 10:55:00 发布

时雨晴天

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文章标签：二项式定理容斥原理

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本文介绍了一种结合二项式定理和容斥原理解决特定数学问题的方法，通过计算二项式展开中系数为奇数的项的数量来解决复杂组合问题，并提供了一个具体的算法实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

二项式定理有两个性质，这题只用到第一个。

性质1：若k表示把n转为二进制后所有位中1的个数，则(1 + x) ^ n中系数为奇数的个数为2 ^ k。

性质2：(1 + x) ^ n中的系数中所有奇系数之和等于偶系数之和等于 2^(n-1)

以下内容参考了：http://hi.baidu.com/yy17yy/item/f703320adb5cafeb34990256

有三个集合ABC,则num(A∪B∪C)=num(A)+num(B)+num(C) -num(A∩B)-num(A∩C)-num(B∩C) +num(A∩B∩C)

容斥原理有一般有简单的递归式

dfs (int beg,set S,int sym)
{
	ans+=num(S)*sym;
	for (int i=beg;i<=n;i++)
		dfs(i,S∩A[i],sym*-1);
}
for (int i=1;i<=n;i++)
	dfs(i,A[i],1);

题意：给出a1,a2,```am，F(x) = (1+x)^a1 + (1+x)^a2 + ``` + (1+x)^am，F(x)的展开式中系数为奇数的个数。

思路：每个(1 + x) ^ n都是一个集合，它的奇数次项的个数就是集合中元素的个数，算法是2^(系数的二进制里1的个数)，

两个集合的交: 比如系数w1,w2,集合的交的个数是2^(w1&w2的二进制里1的个数),

由于奇数次幂相交不一定是奇数次幂,所以所以要把偶数个集合的交的个数减掉,写一下式子,发现问题没有变复杂,只需把上面的递归式的sym由-1变为-2既可。

以三个集合ABC为例：num(A∪B∪C)-num(A∩B)-num(A∩C)-num(B∩C)+3*num(A∩B∩C) 即为所求

也就是 num(A)+num(B)+num(C) -2*num(A∩B)-2*num(A∩C)-2*num(B∩C) +4*num(A∩B∩C)

#include <cstdio>

__int64 ans,data[20];
int n;

int get (__int64 x)
{//计算x的二级制位有多少个1
	return x==0?0:get(x-(x&-x))+1;  //(x&-x)是取出最低位的1
}

void DFS (int begin,__int64 num,__int64 sym)
{
	ans+=((__int64)1<<get(num))*sym;
	for (int i=begin+1;i<=n;i++)
		DFS (i,num&data[i],-2*sym);
}

int main ()
{
	int T,i;
	scanf("%d",&T);
	for (int Cas=1;Cas<=T;Cas++)
	{
		scanf("%d",&n);
		for (i=1;i<=n;i++)
            scanf("%I64d",&data[i]);
		ans=0;
		for (i=1;i<=n;i++)
			DFS(i,data[i],1);
		printf("Case #%d: %I64d\n",Cas,ans);
	}
	return 0;
}