LightOJ 1246 Colorful Board (DP+组合数)

最新推荐文章于 2021-10-27 20:54:40 发布

时雨晴天

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本文探讨了一个关于棋盘染色的问题，其中要求曼哈顿距离为奇数的方块不能染同一颜色。通过将问题抽象并利用动态规划解决，作者详细解释了如何计算总的染色方案数，并提供了代码实现。

题目连接：http://lightoj.com/volume_showproblem.php?problem=1246

题意：有(M+1)*(N+1)的棋盘，可以用k种油漆给它们染色。要求曼哈顿距离为奇数的格子不能染同一颜色(显然相邻格子的曼哈顿距离为1)，问总的染色方案数。

思路：问题可转化为：每个格子（x，y），x+y奇偶性不同的格子的颜色不能相同。于是棋盘被分成两部分，类似于国际象棋黑白相间的分法。

一种颜色要么不出现，要么只在一个部分出现。dp[i][j]表示用j种颜色染i个格子且每种颜色都出现过的方案数，则dp[i][j]=dp[i][j-1]*j+dp[i-1][j-1]*j

然后再乘以对应的组合数即可。

由组合数性质可以快速递推处理出所有需要的值，c[i][j]表示从i中选出j个的选法数：c[i][j]=c[i-1][j]+c[i-1][j-1]

#include <cstdio>

const __int64 mod=1000000007;

__int64 c[51][51],dp[210][51];
//dp[i][j]表示用j种颜色染i个格子且每种颜色都出现过的方案数，则dp[i][j]=dp[i][j-1]*j+dp[i-1][j-1]*j

void Init ()
{
	int i,j;
	for (i=1;i<=50;i++)
		c[i][1]=i,c[i][i]=1;
	for (i=1;i<=50;i++) for (j=2;j<i;j++)
		c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%mod;
	for (i=1;i<=205;i++)
		for (j=1;j<=50;j++)
		{
			if (j==1) dp[i][j]=1;
			else dp[i][j]=dp[i-1][j]*j+dp[i-1][j-1]*j;
			dp[i][j]%=mod;
		}
}

int main ()
{
	int T,n,m,k;
	scanf("%d",&T);
	Init ();
	for (int Cas=1;Cas<=T;Cas++)
	{
		scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
		if (n==0 && m==0)
		{
			printf("Case %d: %d\n",Cas,k);
			continue;
		}
		n++,m++;
		__int64 ans=0;
		int x=(n+1)/2*((m+1)/2)+n/2*(m/2);//坐标为偶的个数
		int y=n*m-x;
		for (int i=1;i<k;i++)
			for (int j=1;i+j<=k;j++)
				ans=(ans+ (c[k][i]*c[k-i][j])%mod*((dp[x][i]*dp[y][j])%mod) )%mod;
		printf("Case %d: %lld\n",Cas,ans);
	}
	return 0;
}

/*
5
19 19 50
18 18 49
17 16 45
15 4 12
10 2 50

Case 1: 764066247
Case 2: 858252451
Case 3: 106772690
Case 4: 863343629
Case 5: 335018981
*/