[NOIP2003-B-3] 栈

描述

栈是计算机中经典的数据结构，简单的说，栈就是限制在一端进行插入删除操作的线性表。
栈有两种最重要的操作，即 pop（从栈顶弹出一个元素）和 push（将一个元素进栈）。
栈的重要性不言自明，任何一门数据结构的课程都会介绍栈。宁宁同学在复习栈的基本概念时，想到了一个书上没有讲过的问题，而他自己无法给出答案，所以需要你的帮忙。
 

宁宁考虑的是这样一个问题：一个操作数序列，1,2,…,n（图示为 1 到 3 的情况），栈 A 的深度大于 n。
现在可以进行两种操作，
将一个数，从操作数序列的头端移到栈的头端（对应数据结构栈的 push 操作）
将一个数，从栈的头端移到输出序列的尾端（对应数据结构栈的 pop 操作）
使用这两种操作，由一个操作数序列就可以得到一系列的输出序列，下图所示为由 1 2 3 生成序列 2 3 1 的过程。
 

(原始状态如上图所示)

你的程序将对给定的 n，计算并输出由操作数序列 1,2,…,n 经过操作可能得到的输出序列的总数。

输入描述

输入只含一个整数 n（1≤n≤18）。

输出描述

输出只有一行，即可能输出序列的总数目。

用例输入 1

3

用例输出 1

5

问题分析

这道题描述了一个经典的栈操作问题：给定操作数序列 1,2,…,n，通过将数字从序列头部压入栈（push），或从栈顶弹出到输出序列尾部（pop），求可能得到的不同输出序列的总数。

这个问题本质上等价于计算卡特兰数（Catalan Number）。卡特兰数在组合数学中有多种应用场景，其中之一就是描述合法的栈操作序列数目。对于给定的 n，合法的出栈序列数目为第 n 个卡特兰数。

卡特兰数的递推公式为：

其通项公式为：

解决思路

我们可以通过动态规划的方法计算卡特兰数。定义 dp[i] 表示 i 个元素可能的输出序列数目，则状态转移方程为：

边界条件为 dp[0] = 1，即当没有元素时，只有一种可能的空序列。

C++ 代码实现

下面是使用动态规划计算卡特兰数的 C++ 代码：

 

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    
    // 初始化dp数组，dp[i]表示i个元素的合法出栈序列数目
    vector<int> dp(n + 1, 0);
    dp[0] = 1;  // 边界条件：0个元素只有一种序列（空序列）
    
    // 动态规划计算dp[1]到dp[n]
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int j = 0; j < i; ++j) {
            dp[i] += dp[j] * dp[i - 1 - j];
        }
    }
    
    cout << dp[n] << endl;
    return 0;
}

代码解释

1. 输入处理：读取整数 n，表示操作数序列的长度。

2. 动态规划数组初始化：创建一个大小为 n+1 的数组 dp，其中 dp[i] 表示 i 个元素的合法出栈序列数目。初始时，dp[0] = 1，因为空序列是唯一的可能。

3. 状态转移计算：

   • 外层循环 i 从 1 到 n，依次计算每个 dp[i] 的值。
   • 内层循环 j 从 0 到 i-1，累加所有可能的组合数目 dp[j] * dp[i-1-j] 到 dp[i]。

4. 输出结果：最终 dp[n] 即为所求的答案，直接输出。

复杂度分析

• 时间复杂度：代码中有两层嵌套循环，时间复杂度为 O(n2)。
• 空间复杂度：使用了长度为 n+1 的数组 dp，空间复杂度为 O(n)。

这个算法能够高效地计算出 n 最大为 18 时的结果，符合题目要求。