数位DP入门

最新推荐文章于 2025-02-16 23:19:21 发布

隔阂0323

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数位dp一般应用于：
求出在给定区间[A,B]内，符合条件P(i)的数i的个数.
数位DP是一个模板化的东西，dp[i][…]表示i位数中符合条件xx的数的个数。

数位的含义：一个数有个位、十位、百位、千位…数的每一位就是数位。数位DP实际上可以看作暴力枚举，用记忆化搜索实现。

我们进行枚举时从数字的最高位开始枚举，例如：321，我们从百位开始枚举：百位可以取得的值是0，1，2，3。当我们进行枚举时不能让枚举的数超过上界，当百位取2时，十位的数就可以取0~9，但是当百位的数取3时，十位数只能取0，1。因此我们用一个limit来标志最高位的状态（即用来判断枚举范围）。还有前导零的问题，用变量lead来处理。

关于前导零：
在数位dp记忆化搜索中，例如在4位区间里搜索24，其实搜索的是0024，如果前导0对答案不影响那么无所谓，但是影响答案那么需要记录处理。

模板

typedef long long ll;
int a[20];
ll dp[20][state];//不同题目状态不同
ll dfs(int pos,int state/*state变量*/,bool lead/*前导零*/,bool limit/*数位上界变量*/)//不是每个题都要判断前导零
{
    //递归边界，既然是按位枚举，最低位是0，那么pos==-1说明这个数我枚举完了
    if(pos==-1) return 1;/*这里一般返回1，表示你枚举的这个数是合法的，那么这里就需要你在枚举时必须每一位都要满足题目条件，也就是说当前枚举到pos位，一定要保证前面已经枚举的数位是合法的。不过具体题目不同或者写法不同的话不一定要返回1 */
    //第二个就是记忆化(在此前可能不同题目还能有一些剪枝)
    if(!limit && !lead && dp[pos][state]!=-1) return dp[pos][state];
    /*常规写法都是在没有限制的条件记忆化，这里与下面记录状态是对应*/
    int up=limit?a[pos]:9;//根据limit判断枚举的上界up
    ll ans=0;
    //开始计数
    for(int i=0;i<=up;i++)//枚举，然后把不同情况的个数加到ans就可以了
    {
        if() ...
        else if()...
        ans+=dfs(pos-1,/*状态转移*/,lead && i==0,limit && i==a[pos]) //最后两个变量传参都是这样写的
        /*这里还算比较灵活，不过做几个题就觉得这里也是套路了
        大概就是说，我当前数位枚举的数是i，然后根据题目的约束条件分类讨论
        去计算不同情况下的个数，还有要根据state变量来保证i的合法性，比如题目
        要求数位上不能有62连续出现,那么就是state就是要保存前一位pre,然后分类，
        前一位如果是6那么这意味就不能是2，这里一定要保存枚举的这个数是合法*/
    }
    //计算完，记录状态
    if(!limit && !lead) dp[pos][state]=ans;
    /*这里对应上面的记忆化，在一定条件下时记录，保证一致性，当然如果约束条件不需要考虑lead，这里就是lead就完全不用考虑了*/
    return ans;
}
ll solve(ll x)
{
    int pos=0;
    while(x)//把数位都分解出来
    {
        a[pos++]=x%10;//个人老是喜欢编号为[0,pos),看不惯的就按自己习惯来，反正注意数位边界就行
        x/=10;
    }
    return dfs(pos-1/*从最高位开始枚举*/,/*一系列状态 */,true,true);//刚开始最高位都是有限制并且有前导零的，显然比最高位还要高的一位视为0嘛
}
int main()
{
    ll le,ri;
    while(~scanf("%lld%lld",&le,&ri))
    {
       memset(dp,0,sizeof(dp);
        printf("%lld\n",solve(ri)-solve(le-1));
    }
}

入门题目详解（凑合看?）：
HDU-2089
HDU-3555

关于优化：

1.memset优化
memset(dp,-1,sizeof(dp));放在多组数据外面。
使用条件：约束条件是每个数自身的属性，而与输入无关。具体的：第一题不要62和4，这个约束对每一个数都是确定的，就是说任意一个数满不满足这个约束都是确定，比如444这个数，它不满足约束条件，不管你输入的区间是多少你都无法改变这个数不满足约束这个事实，这就是数自身的属性（我们每组数据只是在区间计数而已，只能说你输入的区间不包含444的话，我们就不把它统计在内，而无法改变任何事实）。由此，我们保存的状态就可以一直用。

2.相减
这个不太好描述，一般就是让你求…和…相等的数的个数或者…比…多x的数的个数之类的，就是一些约束条件是比较（大于小于等于）的数的个数。
HDU-3709
POJ - 3252
HDU-4734

一些方法（雾）：

1.求pos位数对X取余为0的数的个数，我们可以用一个sum，表示取余后的数，sum=(sum*10+i)%X用于向下更新。

2.求某个区间数的平方和
HDU-4507