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数位dp一般应用于:
求出在给定区间[A,B]内,符合条件P(i)的数i的个数.
数位DP是一个模板化的东西,dp[i][…]表示i位数中符合条件xx的数的个数。
数位的含义:一个数有个位、十位、百位、千位…数的每一位就是数位。数位DP实际上可以看作暴力枚举,用记忆化搜索实现。
我们进行枚举时从数字的最高位开始枚举,例如:321,我们从百位开始枚举:百位可以取得的值是0,1,2,3。当我们进行枚举时不能让枚举的数超过上界,当百位取2时,十位的数就可以取0~9,但是当百位的数取3时,十位数只能取0,1。因此我们用一个limit来标志最高位的状态(即用来判断枚举范围)。还有前导零的问题,用变量lead来处理。
关于前导零:
在数位dp记忆化搜索中,例如在4位区间里搜索24,其实搜索的是0024,如果前导0对答案不影响那么无所谓,但是影响答案那么需要记录处理。
模板
typedef long long ll;
int a[20];
ll dp[20][state];//不同题目状态不同
ll dfs(int pos,int state/*state变量*/,bool lead/*前导零*/,bool limit/*数位上界变量*/)//不是每个题都要判断前导零
{
//递归边界,既然是按位枚举,最低位是0,那么pos==-1说明这个数我枚举完了
if(pos==-1) return 1;/*这里一般返回1,表示你枚举的这个数是合法的,那么这里就需要你在枚举时必须每一位都要满足题目条件,也就是说当前枚举到pos位,一定要保证前面已经枚举的数位是合法的。不过具体题目不同或者写法不同的话不一定要返回1 */
//第二个就是记忆化(在此前可能不同题目还能有一些剪枝)
if(!limit && !lead && dp[pos][state]!=-1) return dp[pos][state];
/*常规写法都是在没有限制的条件记忆化,这里与下面记录状态是对应*/
int up=limit?a[pos]:9;//根据limit判断枚举的上界up
ll ans=0;
//开始计数
for(int i=0;i<=up;i++)//枚举,然后把不同情况的个数加到ans就可以了
{
if() ...
else if()...
ans+=dfs(pos-1,/*状态转移*/,lead && i==0,limit && i==a[pos]) //最后两个变量传参都是这样写的
/*这里还算比较灵活,不过做几个题就觉得这里也是套路了
大概就是说,我当前数位枚举的数是i,然后根据题目的约束条件分类讨论
去计算不同情况下的个数,还有要根据state变量来保证i的合法性,比如题目
要求数位上不能有62连续出现,那么就是state就是要保存前一位pre,然后分类,
前一位如果是6那么这意味就不能是2,这里一定要保存枚举的这个数是合法*/
}
//计算完,记录状态
if(!limit && !lead) dp[pos][state]=ans;
/*这里对应上面的记忆化,在一定条件下时记录,保证一致性,当然如果约束条件不需要考虑lead,这里就是lead就完全不用考虑了*/
return ans;
}
ll solve(ll x)
{
int pos=0;
while(x)//把数位都分解出来
{
a[pos++]=x%10;//个人老是喜欢编号为[0,pos),看不惯的就按自己习惯来,反正注意数位边界就行
x/=10;
}
return dfs(pos-1/*从最高位开始枚举*/,/*一系列状态 */,true,true);//刚开始最高位都是有限制并且有前导零的,显然比最高位还要高的一位视为0嘛
}
int main()
{
ll le,ri;
while(~scanf("%lld%lld",&le,&ri))
{
memset(dp,0,sizeof(dp);
printf("%lld\n",solve(ri)-solve(le-1));
}
}
入门题目详解(凑合看?):
HDU-2089
HDU-3555
关于优化:
1.memset优化
memset(dp,-1,sizeof(dp));放在多组数据外面。
使用条件:约束条件是每个数自身的属性,而与输入无关。具体的:第一题不要62和4,这个约束对每一个数都是确定的,就是说任意一个数满不满足这个约束都是确定,比如444这个数,它不满足约束条件,不管你输入的区间是多少你都无法改变这个数不满足约束这个事实,这就是数自身的属性(我们每组数据只是在区间计数而已,只能说你输入的区间不包含444的话,我们就不把它统计在内,而无法改变任何事实)。由此,我们保存的状态就可以一直用。
2.相减
这个不太好描述,一般就是让你求…和…相等的数的个数或者…比…多x的数的个数之类的,就是一些约束条件是比较(大于小于等于)的数的个数。
HDU-3709
POJ - 3252
HDU-4734
一些方法(雾):
1.求pos位数对X取余为0的数的个数,我们可以用一个sum,表示取余后的数,sum=(sum*10+i)%X用于向下更新。
2.求某个区间数的平方和
HDU-4507
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