如何证明平方和公式？

最新推荐文章于 2024-03-01 04:22:12 发布
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     证明如下：      

     已知(n+1)­3 = n3+3n2+3n+1
     则与如下一系列等式成立：

     (n+1)3-n3=3(n2+n)+1
     n3-(n-1)3=3((n-1)2+(n-1))+1

     …………
     23-13=3(12+1)+1

     等式两边相加：
     (n+1)3-1 = 3[n2+…+12]+3*n(n+1)/2+n

     故，12+22+32+……+n2是为n(n+1)(2*n+1)/6

回归分析中，证明：总离差平方和=回归平方和+误差平方和。
从事脑科学核磁共振方法学研究，在Nature communications等权威期刊发表研究论文，熟练掌握磁共振处理方法和统计学方法，欢迎大家和我交流。
12-20 9508
证明: 总离差平方和=回归平方和+误差平方和。 SST=SSR+SSE,S S T=S S R+S S E,SST=SSR+SSE, 即 ∑i=1n(yi−yˉ)2=∑i=1n(y^i−yˉ)2+∑i=1n(yi−y^i)2 \sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}=\sum_{i=1}^{n}\left(\hat{y}_{i}-\bar{y}\right)^{2}+\sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\hat{y}_{i}\right)^{2
回归平方和怎么计算_[机器学习] 最实用的算法：回归
weixin_32466167的博客
01-30 7970
朴素贝叶斯，决策树，支持向量机等都是属于离散型的监督分类，本文要讲的是连续型监督分类：回归（regression）其实回归太常见不过了，我们学过的一元一次方程，x作为自变量，y作为因变量，就是一个连续型的回归，例如下图的年龄和收入的关系连续还是离散连续和离散这个概念也是非常简单的，离散变量指变量值可以按一定顺序一一列举，通常以整数位取值的变量。而连续则不可以，下面有个简单的图表可以让你更直观了解这...
回归算法
nextbox
04-17 1625
比较常见的回归算法：线性回归，多项式回归，岭回归，lasso，弹性网络等 回归算法常用的评估标准： R2R2R^2它反映了因变量的变异能通过回归关系被自变量解释的比例。值为1的时候，表示观测点全部落到回归拟合线上 计算公式 R2R2R^2 = 回归平方和/总平方和 回归平方和 = 总平方和 - 残差平方和 ...
证明二项式系数平方和等于组合数C(2n,n)
qq_22125259的博客
07-02 8825
数学基础之平方和公式
热门推荐
sandalphon4869的博客
08-05 2万+
文章目录一、平方和公式1.介绍2.公式3.证明方法(1)证法一（归纳猜想法）证法三（ ） ： 令 一、平方和公式 1.介绍 \quad平方和公式是一个比较常用公式，用于求连续自然数的平方和（Sum of squares），其和又可称为四角锥数，或金字塔数（square pyramidal number）也就是正方形数的级数。 \quad此公式是冯哈伯公式(Faulhaber’s formula...
《具体数学》学习笔记: 4.四种方法推导平方和公式
ajaxlt的博客
01-09 1万+
** 四种方法推导平方和公式** 序言: 连续自然数的平方和， Sn=∑k=0nk2=12+22+...+n2S_n = \sum_{k=0}^{n}{k^2} = 1^2 + 2^2 + ... + n^2Sn​=∑k=0n​k2=12+22+...+n2 是我们中学时期便接触到的一个重要公式，当时只要求记住其结论，即Sn=n(n+1)(2n+1)6S_n = \frac{n(n+1)(2n+1...
二项式定理和证明（二项式作用，手动计算求平方和逆向求开方，作为基础求对数，手动方法实现后才可以把公式用转化为计算机语言编程，进而有计算机实现这些公式进行这方面运算）
二进制模----细微行动改变影响世界
05-04 822
因式分解平方差公式练习题精选.doc
09-26
1. 平方差公式的定义和应用：平方差公式是指a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)，它是因式分解中最基本的公式。 2. 平方差公式的应用场景：平方差公式广泛应用于代数式的因式分解，如m^2 - 1 = (m + 1)(m - 1)，a^2 - 4b^2...
平方和&立方和公式推导
weixin_45221012的博客
05-16 4276
归纳法和排列组合法等多种方法推导平方和和平方和公式。
matlab距离平方和公式推导,lstopt 非线性拟合：相关系数之平方(R^2)和决定系数(DC)计算公式是？...
weixin_28856331的博客
03-16 1827
本帖最后由 老姜 于 2013-12-11 03:30 编辑我做了个非线性拟合，结果发现：相关系数之平方(R^2) 不等于决定系数(DC)，自己采用1-SSE/SST计算后得到DC值，想知道lstopt 的R^2是如何计算？原代码如下：Function z=(a*b*cos(y+2*pi/3)+(a^2*b^2*(cos(y+2*pi/3))^2+4*(3^(0.5)*a*b*x+3*b^2)*(...
完全平方公式教案.pdf
12-20
结果中有两个数的平方和，而 2p = 2p1，4m = 2m2，恰好是两个数乘积的二倍。推广：计算 (a+b)^2 = ________; (ab)^2 = ________。得到公式，分析公式结论：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2，(ab)^2 = a^2 - 2ab + b^2。即...
CUDA计算随机数平方和
06-08
CUDA计算随机数平方和,利用cuda并行计算的特点，极大节省时间。
由二项式公式推导平方和与立方和公式
Mopoke的博客
03-01 1155
由二项式公式推导平方和与立方和公式
回归平方和怎么计算_计量经济学复习笔记（三）：如何使用回归结果
weixin_39805364的博客
01-14 7324
计量经济学复习笔记（三）：如何使用回归结果根据我们之前的讨论，任意给定一组 的观测值，都可以计算回归。但是否回归都是有效的？直观说来，我们会将回归方程直接绘制在图像上，看样本点围绕回归方程的偏差程度大不大。但是绘图、看图说话总要动脑，直接给一个指标告诉大家好还是不好就能省掉许多的工作，这篇文章首先来探究这样的指标，再讨论回归方程的使用。1、拟合优度与可决系数如果一个回归方程的效果很好，残差就应该...
平方和公式
dazhilao
12-13 3389
平方和公式n(n+1)(2n+1)/6 即1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 (注：N^2=N的平方) 平方和公式 - 证明 证明1＋4＋9＋…＋n^2＝N(N+1)(2N+1)/6 1、N＝1时，1＝1（1＋1）（2×1＋1）/6＝1 2、N＝2时，1＋4＝2（2＋1）（2×2＋1）/6＝5 3、设N＝x时，公式成立，即1＋4...
回归公式推导
qq_26174823的博客
02-22 1655
上面写的字迹有点乱，重新公式梳理： 逻辑回归（Logistic Regression）是用于处理因变量为分类变量的回归问题，常见的是二分类或二项分布问题，也可以处理多分类问题，它实际上是属于一种分类方法。损失函数，就是衡量真实值和预测值之间差距的函数。所以，我们希望这个函数越小越好。在这里，最小损失是0。 最小二乘意义下的矩阵的逆求参数最优解 经过变量的变换 实际值、预测值、误差 ...
线性回归模型的度量参数1- SST SSR SSE R-Squared
neweastsun的专栏
02-01 1万+
本文解释线性回归模型的度量参数，并通过示例给出其计算过程。 模型度量参数概述 线性回归用于找到一条线能够最佳拟合数据集。通常使用三个不同的平方和值衡量回归线实际拟合数据的程度。 Sum of Squares Total (SST) 单个数据点（观测值）于响应变量的均值差的平方和。 Sum of Squares Regression (SSR) 预测值ŷi与响应变量均值差的平方和。 Sum of Squares Error (SSE) 预测值ŷi与观测值差的平方和。 三者之间的关系为： S.
线性回归的简单介绍
XIAOFEI@IDO
03-19 1万+
一、背景 简单线性回归（Simple linear regression）也称为一元线性回归，是分析一个自变量（x）与因变量（y）之间线性关系的方法，它的目的是拟合出一个线性函数或公式来描述x与y之间的关系。 我们以最简单的一元线性回归回归方程来解释： yi=β0+β1×xi+eiy_i = \beta_0 + \beta_1 \times x_i + e_iyi​=β0​+β1​×xi​+ei​ 其中，yiy_iyi​ 为因变量，xix_ixi​ 为 自变量，β0\beta_0β0​ 为截距， β1\be
考研数列求和：平方和、立方和公式推导
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11-23 6792
考虑立方数的差异：(k+1)3−k3=3k2+3k+1 (k+1)^3 - k^3 = 3k^2 + 3k + 1 (k+1)3−k3=3k2+3k+1这个等式可以通过简单地展开左边的表达式得到。这个等式揭示了连续两个立方数之差可以表示为一个与平方数相关的表达式。当我们将这个观察应用于一系列连续的立方数时，就出现了一个有趣的模式：我们将这个差分方法应用于 k=1,2,…,nk = 1, 2, \ldots, nk=1,2,…,n：∑k=1n[(k+1)3−k3]=∑k=1n(3k2+3k+1) \sum_{
最小化残差平方和公式
最新发布
03-11
<think>好的，我现在需要处理用户关于最小化残差平方和的查询。首先，用户提到了数学、统计学、机器学习和回归分析，所以回答需要覆盖这些领域。让我先回忆一下相关的知识。 残差平方和（SSR）是回归分析中的核心概念，对吧？在统计学中，它用来衡量模型预测值与实际观测值之间的差异。最小化SSR就是找到模型参数使得这些差异的平方和最小，这通常通过最小二乘法来实现。数学上，这可能涉及到求导或者矩阵运算，比如正规方程。而在机器学习中，梯度下降是一种常用的优化方法，用于最小化损失函数，比如SSR。 接下来，我需要确认用户可能需要的具体内容。用户可能想知道如何推导最小化SSR的公式，或者不同方法（如最小二乘和梯度下降）的区别。同时，他们可能希望了解在不同学科中的应用差异。 根据提供的引用，特别是引用[2]提到了最小二乘和梯度下降的关系，这应该被包含进去。引用[4]给出了计算SSR的代码示例，可能需要在解释时引用。引用[3]关于R&sup2;的说明虽然相关，但用户的问题更聚焦于SSR的最小化，所以可能次要提及。 现在需要组织回答的结构。先定义SSR，然后数学上的最小二乘解法，接着梯度下降在机器学习中的应用，统计学中的意义，以及回归分析中的角色。确保使用正确的LaTeX格式，行内公式用$...$，独立公式用$$...$$。例如，SSR的公式应该是独立公式。 还要检查是否需要生成相关问题，根据系统级指令，用户需要相关问题，所以最后要添加。比如关于最小二乘与梯度下降的比较，或SSR与其他指标的关系。 注意引用文献的位置，比如在解释最小二乘时引用[2]，在代码示例时引用[4]。确保每个引用自然衔接，不破坏段落流畅性。 最后，验证LaTeX语法是否正确，比如积分符号、上下标等。例如，确保$\beta$的矩阵表示正确，梯度下降的公式正确使用括号和符号。 可能还需要确认用户是否了解基础概念，如残差、回归模型等，但用户的问题已经明确，所以不需要过多基础解释，但需要清晰分点说明。</think>### 最小化残差平方和公式的数学与统计学解释 #### 1. **概念定义** **残差平方和（SSR, Sum of Squared Residuals）** 是回归模型中实际观测值 $y_i$ 与模型预测值 $\hat{y}_i$ 之间差异的平方和，表达式为： $$ \text{SSR} = \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}_i)^2 $$ 其核心目标是通过调整模型参数（如线性回归中的系数 $\beta$），使 SSR 达到最小值，从而提高模型拟合优度[^3]。 #### 2. **数学推导（最小二乘法）** 在线性回归中，假设模型为 $y = X\beta + \epsilon$，其中 $X$ 是设计矩阵，$\beta$ 是参数向量。最小二乘法通过求导找到使 SSR 最小的 $\beta$： $$ \frac{\partial \text{SSR}}{\partial \beta} = 0 \implies X^T X \beta = X^T y $$ 解此方程可得闭式解： $$ \hat{\beta} = (X^T X)^{-1} X^T y $$ 这是通过直接求解多元函数极值实现的[^2]。 #### 3. **统计学意义** - **无偏估计**：当误差项满足高斯-马尔可夫假设时，最小二乘估计是最优线性无偏估计（BLUE）。 - **模型评估**：SSR 是计算 $R^2$ 的基础，$R^2 = 1 - \frac{\text{SSR}}{\text{SST}}$，其中 $\text{SST}$ 是总平方和。 #### 4. **机器学习中的应用** 在机器学习中，最小化 SSR 常通过**梯度下降**实现，尤其在高维或大规模数据场景下。梯度下降迭代更新参数： $$ \beta_{t+1} = \beta_t - \alpha \cdot \nabla \text{SSR}(\beta_t) $$ 其中 $\alpha$ 是学习率，$\nabla \text{SSR}$ 是梯度。这种方法避免了直接求解矩阵逆的计算复杂度。 #### 5. **代码示例** 以下代码展示了如何计算线性回归的 SSR（引用自[^4]）： ```python import numpy as np from sklearn.linear_model import LinearRegression # 示例数据 X = np.array([[1], [2], [3], [4], [5]]) y = np.array([1.1, 1.9, 3.0, 4.2, 5.1]) # 拟合模型并计算 SSR model = LinearRegression() model.fit(X, y) y_pred = model.predict(X) SSR = np.sum((y - y_pred)**2) print(f"残差平方和（SSR）：{SSR:.4f}") ```
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