堆

经常在学习一些相关的计算机知识时会遇到：xxx是基于堆的。乍一听上去感觉很高端，给人的第一印象就是一堆杂乱的数据摆在一起，然后进行特定的操作。实际上，堆（heap）是一棵特殊的完全二叉树，而且是采用的静态存储方式。它要求每个根节点都比他的左右子树结点值大（大顶堆）或者都小（小顶堆），若是我们每次取出根节点的值，然后删除掉根节点，对整个堆进行调整，再重复上面操作，这样就能得到一个有序的序列。

建堆的思想是，先逐个插入结点建立一棵完全二叉树（因为采用的静态存储，逐个赋值即可得到），然后对非叶结点逐个进行向下调整，调整完毕后即可得到堆，下面是调整和建堆操作：

void downAdjust(int low,int high)//将结点编号为low的结点向下调整，直到合适的位置
{
    int i=low,j=i*2;//i是待调整结点，j是其左子节点
    while(j<=high)//保证i不是叶子结点
    {
        if(j+1<=high&&heap[j+1]>heap[j])//若有右子节点，且其值大于左子节点，让j存储右子节点下标
            j=j+1;
        if(heap[j]>heap[i])//j表示子节点的最大值，如果比待调整结点大，交换其位置
        {
            swap(heap[i],heap[j]);
            i=j;//i向下移动，保持j为i的左子节点
            j=i*2;
        }
        else//若子节点比待比较结点小，则不用交换，直接退出
            break;
    }
}

void creat_heap()//完全二叉树有一半（上整）结点是叶子结点，是被动调整的，非叶结点范围是[1,n/2]。逐个调整即可建堆
{
    for(int i=n/2;i>=1;i--)//这里采用的是倒序枚举，每一次后面部分总是满足堆要求
    {
        downAdjust(i,n);
    }
}

对于堆，一般涉及的比较多的是堆排序算法，即上面提到的得到有序序列的方法。在每次删掉根节点后，调整的策略是把最后一个结点值赋予根节点，直接删除最后一个结点，然后将根节点向下调整，不断重复操作，即可得到堆排序如下：

void heapSort()
{
    creat_heap();//建堆
    for(int i=n;i>1;--i)//i始终对应最后一个结点编号
    {
        printf("%d\t",heap[1]);
        swap(heap[i],heap[1]);//交换根节点和最后一个结点的值
        downAdjust(1,i-1);//对根结点在剩余的n-1个结点中进行向下调整
    }
}

但到这里也只能算是个静态排序算法，因为没考虑插入操作，也就是说我们的堆一开始就是固定的，得到的排序结果也是固定的，下面讨论插入操作。对于二叉树而言，一般插入操作都是找到空指针插入然后做简单调整即可，由于对是一棵完全二叉树，在插入结点后还要保持这一特点，所以一般结点直接插入到最后，然后再对这个结点进行向上调整操作。

void upAdjust(int low,int high)//插入元素一般插在最底层最右边，需要向上调整
{
    int i=high;//i是要调整结点，j是其父结点
    int j=i/2;
    while(j>=low)
    {
        if(heap[j]<heap[i])//这里和下调不同，只需要一次比较
        {
            swap(heap[j],heap[i]);
            i=j;//i向上移动
            j=i/2;
        }
        else//已到最终位置
            break;
    }
}

void insertNode(int x)//插入结点值为x的结点
{
    heap[++n]=x;//将结点插入到最后
    upAdjust(1,n);
}