线段树

      树是数据结构中最重要的逻辑结构。其中有红黑树，伸展树，AVL树,BST树,2-4树,B树,B+树,B-树等等。这里我们介绍一种新的树状结构--线段树。线段树常常用来求任意下标元素的最大值、最小值或者是求和等等。线段树构造有很多方式，比如:

        

        图片来源:线段树

    这个首先用树的结构将每个节点信息存储下来。大概有开始编号，结束编号，父节点指针，左孩子指针，右孩子指针，以及求和的值。那么更新的时候只需要从当前节点一直上溯到根节点就可以，这样时间复杂度是O(logn).在求下标值的时候，依据节点的开始和结束编号进行查找即可，这样时间复杂度也是O(logn).这个方法的认为不太好的地方在于构造一个树要耗较多内存，而且相对来说不容易建。

    那么是不是可以利用数组来实现树的操作呢，答案是肯定的。在数据结构中，很多高级或者说复杂的结构其内部都是用数组实现的。接下来将介绍关于线段树存储的树状数组。（下面的概念中二进制位数是从右往左，开始下标为0，也记倒数第零位。树的层数从下往上，开始下标也是0，也记第零层。还有覆盖孩子节点，其中孩子节点相对来说比较宽泛，是在覆盖当前节点之下的那些节点）

                    

                    图片来源:线段树

    这样的树构造方式和上面的不太一样，但是却是十分有用。其中A[1]到A[8]是原给定数组的下标从0到7对应的数。其中C[i]=A[i-2^k+1]到A[i]之间元素的和。可以看出将每个i(i>=1)写成二进制形式，恰好第零层是二进制倒数第零位是1;第一层恰好是二进制倒数第一位是1;依次类推，第k层应该是二进制倒数第k位是1的。注意这里的层数是从下往上的。

    这样还有个好处就是，当找当前节点的父节点的时候只需要在当前节点i上加上2^k，这里k是当前节点所在的层次。为什么这样能得到父节点的下标呢？因为当前层下标的二进制倒数第k位是1，而倒数j位都是0（这很显然，如果不是那么当前节点应该在j层，其中倒数第j位为1.这里j<k).那么当前节点i+2^k,相当于将倒数第k位上的1变成了0，就往上移动了一层/或者多层，从而达到其上面的父节点下标。(update)

    当找前一颗树的时候只需要将当前节点下标i减去2^k，这样就和上面类似，层数上升了，因为倒数第k位的1变成了0，但是由于上面是加使得值变大而到达父节点下标，那么这里的减使得下标值减少，则会使得到达前一颗树的下标位置。比如6(00..0110)在当倒数第一位的1变成0（因为6在第一层),由于前面还有1，因此变化为4，也就是到达了左边的一颗树的下标处。这样4(00..0100)的倒数第二位的1变成0（因为4在第二层)后结果变成0.当减少到0的时候结束。因此sum[6]=C[6]+C[4].其中sum[i]表示原给定数组下标从0到i-1的求和。如果这样不好理解，可以将第二幅图进行转化。

                

                 图片来源:线段树

    从第一层开始将左孩子进行翻转，构成一颗完全二叉树。每个子树（即以当前节点为根节点的一颗树）包含（或者说覆盖)有2^k(k是当前节点的层次)个孩子,那么其余没有覆盖的应该是当前节点的下标i-已经覆盖的孩子节点。比如6在第1层，覆盖了2^1个孩子，那么还有4个孩子没有覆盖，因此下标移到6-2^1=4的位置处。到4的时候，由于其在第二层，因此覆盖了2^2个孩子，那么下标移到4-2^2=0这样所有的孩子都覆盖到了，也就是实现了原给定数组从下标0开始到下标i-1的元素的和。即sums[6]=C[6]+C[4].(sum)

这样就可以写出线段树的三个基本函数。

1.求2^k

private int bit(int i){
    return i&(-i);//返回i^k，其中k是二进制i的最后不为0的位置,比如i=4,二进制为00...0100,最后不为0的位置是2
}

2.更新

private void update(int i,int val){
        while(i<C.length){
            C[i]+=val;
            i+=bit(i);//上朔,参考前面update段落
        }
    }

3.求和

private int sum(int i){
        int sum=0;
        while(i>0){
            sum+=C[i];
            i-=bit(i);//找前一颗树,参考前面sum段落
        }
        return sum;
    }

Reference:

        树状数组