背包问题模板

01背包

特点：每种物品只有一件

子问题定义状态

bag[i][v] : 前i件物品放到一个容量为v的背包中可以获得最大价值

转移状态方程

bag[i][v] = max(bag[i-1][v],bag[i-1][v-weight[i]] + value[i])

模板：

#include<iostream>
#include<string.h>
using namespace std;
int main(){
    int n = 3;//n件物品
    int v = 5;//背包的容量
    int weight[n+1] = {0,3,2,2};//第n件物品的重量 
    int value[n+1] = {0,5,10,20};//第n件物品的价值
    //结果最大价值为30 
    int bag[n+1][v+1];
    memset(bag,0,sizeof(bag));//数组初始化，必须包含头文件<string.h> 
    for(int i = 1; i <= n; i++){//枚举物品 
        for(int j = 0; j <= v; j++){//枚举背包容量 
            if(j >= weight[i]){
                bag[i][j] = max(bag[i-1][j],bag[i-1][j-weight[i]]+value[i]);
            }else{
                bag[i][j] = bag[i-1][j];
            } 
        }
    }
    cout<<bag[n][v]<<endl;
return 0; 
}

效率分析

以上算法的时间复杂度为O（N*V）,空间复杂度也为O(N*V).其中，N 表示物品个数，V 表示背包容量这里，时间复杂度不可以在优化了，但是空间复杂度可以继续优化到O(V).

空间复杂度优化

关键：由二维数组bag[n][v]改为用一维数组bag[v]来保存中间变量。

关键代码修改：

int bag[v+1];
memset(bag,0,sizeof(bag));
for (int i = 1;i <= n;i++){//枚举物品
    for (int j = v;j >= weight[i];j--){//枚举背包容量,防越界，j下限为 weight[i]
        bag[j] = max(bag[j],bag[j-weight[i]]+value[i]);
    }
}
cout<<bag[v]<<endl;

完全背包

每种物品的数量为无限

转移状态方程修改为：

bag[j] = max(bag[j],bag[j-k*weight[i]]+k*value[i]);
k:枚举能拿几件

完全背包主要加了一层循环来枚举可以拿走的物品数量count
count = v/weight[i];
原因：原因：假如有背包容量为6，有一物品重量为1，价值为2。此时根据背包的重量，最多只能拿6件而已。
模板：

#include<iostream>
#include<string.h>
using namespace std;
int main(){
    int n = 3;//n件物品
    int v = 5;//背包的容量
    int weight[n+1] = {0,3,2,2};//第n件物品的重量 
    int value[n+1] = {0,5,10,20};//第n件物品的价值 
    //结果最大价值为40
    int bag[v+1];
    int count;
    memset(bag,0,sizeof(bag));//数组初始化，必须包含头文件<string.h> 
    for(int i = 1; i <= n; i++){//枚举物品 
        for(int j = v; j >= weight[i]; j--){//枚举背包容量 
            count = j/weight[i];//在不超过当前背包容量的情况下，当前物品最多可以拿几件 
            for(int k = 0; k <= count; k++){
                bag[j] = max(bag[j],bag[j-k*weight[i]]+k*value[i]);
            }
        }
    }
    cout<<bag[v]<<endl;
return 0; 
}

多重背包

特点：每种物品的数量有上限

转移状态方程与完全背包相同：

bag[j] = max(bag[j],bag[j-k*weight[i]]+k*value[i]);

主要就是枚举数量count的取值变为
count = min(num[i],v/weight[i]);
原因：假如有背包容量为6，有一物品重量为1，价值为2，数量为10。虽然该物品有10件，但你的背包容量最多只允许你拿6件而已。

模板:

#include<iostream>
#include<string.h>
using namespace std;
int main(){
    int n = 3;//n件物品
    int v = 8;//背包的容量
    int weight[n+1] = {0,1,2,2};//第n件物品的重量 
    int value[n+1] = {0,6,10,20};//第n件物品的价值 
    int num[n+1] = {0,10,5,2};//第n件物品的上限数量 
    //结果最大价值为64
    int bag[v+1];
    int count;
    memset(bag,0,sizeof(bag));//数组初始化，必须包含头文件<string.h> 
    for(int i = 1; i <= n; i++){//枚举物品 
        for(int j = v; j >= weight[i]; j--){//枚举背包容量 
            count = min(num[i],j/weight[i]);//在不超过当前背包容量的情况下，当前物品最多可以拿几件 
            for(int k = 0; k <= count; k++){
                bag[j] = max(bag[j],bag[j-k*weight[i]]+k*value[i]);
            }
        }
    }
return 0; 
}

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关于背包问题的参考资料：
背包问题九讲笔记_01背包
背包问题九讲笔记_完全背包
背包问题九讲笔记_多重背包