编程之美——2.8 找符合条件的整数

题目：任意给定一个正整数N，求一个最小的正整数M(M>1)，使得N*M的十进制表示形式里只含有1和0.

解决这个问题首先考虑对于任意的N，是否这样的M一定存在。可以证明，M是一定存在的，而且不唯一。
简单证明：因为

 

这是一个无穷数列，但是数列中的每一项取值范围都在[0, N-1]之间。所以这个无穷数列中间必定存在循环节。即假设有s,t均是正整数，且s<t，有 。于是循环节长度为t-s。于是10^s = 10^t。因此有：
，所以

例如，取N＝3，因为10的任何非负次方模3都为1，所以循环节周期为1.有：

 

给定N，求M的方法：
方法一：给定N，令M从2开始，枚举M的值直到遇到一个M使得N*M的十进制表示中只有1和0.
方法二：求出10的次方序列模N的余数序列并找出循环节。然后搜索这个余数序列，搜索的目的就是要在这个余数序列中找到一些数出来让它们的和是N的倍数。例如N=13，这个序列就是1,10,9,12,3,4然后不断循环。很明显有1+12=13，而1是10的0次方，12是10的3次方，所以这个数就是1000+1=1001，M就是1001/13=77。
方法三：因为N*M的取值就是1,10,11,100,101,110,111,......所以直接在这个空间搜索，这是对方法一的改进。搜索这个序列直到找到一个能被N整除的数，它就是N*M，然后可计算出M。例如N=3时，搜索树如下：

上图中括号内表示模3的余数。括号外表示被搜索的数。左子树表示0，右子树表示1.上图中搜索到第二层（根是第0层）时遇到111，它模3余数为0.所以N*M=111, M=111/3=37。
方法四：对方法三的改进。将方法三的搜索空间按模N余数分类，使得搜索时间和空间都由原来的指数级降到了O(N)。改进的原理：假设当前正在搜索由0，1组成的K位十进制数，这样的K位十进制数共有2^k个。假设其中有两个数X、Y，它们模N同余，那么在搜索由0、1组成的K+1位十进制数时，X和Y会被扩展出四个数：10X, 10X+1, 10Y, 10Y+1。因为X和Y同余（同余完全可以看作相等），所以10X与10Y同余，10X+1与10Y+1同余。也就是说由Y扩展出来的子树和由X扩展产生出来的子树产生完全相同的余数，如果X比Y小，那么Y肯定不是满足要求的最小的数，所以Y这棵子树可以被剪掉。这样，2^K个数按照模N余数分类，每类中只保留最小的那个数以供扩展。原来在这一层需要搜索2^K个数，现在只需要搜索O(N)个数。例如，当N=9时，第0层是1(1)，

如上图所示，第2层的110，第三层的1010、1110都因为同一层有和它同余且更小的数而被剪掉。如果按照方法三搜索，第三层本来应该有8个结点，但现在只有4个结点。

方法一的源代码：

    #include <stdio.h>  
      
    int HasOnlyOneAndZero(unsigned int n) {  
        while(n) {  
            if(n % 10 >= 2) return 0;  
            n /= 10;  
        }  
        return 1;  
    }  
      
    int main() {  
        int n, m;  
        while(scanf("%d", &n) != EOF) {  
            for(m = 1;;m++) {  
                if(HasOnlyOneAndZero(n*m)) {  
                    printf("n = %d, m = %d, n*m = %d/n", n, m, n*m);  
                    break;  
                }  
            }  
        }  
        return 0;  
    }  

方法三的源代码：

    // 解法三(1):广度优先搜索  
    #define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1  
      
    #include <cstdio>  
    #include <queue>  
    using namespace std;  
      
    int main() {  
        int N;  
        while(scanf("%d", &N) != EOF) {  
            queue<int> q;  
            q.push(1);  
            while(!q.empty()) {  
                int t = q.front();  
                q.pop();  
                if(t % N == 0) {  
                    printf("n = %d, m = %d, n*m = %d/n", N, t/N, t);  
                    break;  
                }  
                q.push(t * 10);  
                q.push(t * 10 + 1);  
            }  
        }  
        return 0;  
    }  

方法四源代码：

    // 解法四：将搜索空间分过类的广度搜索，这样空间占用是O(N)而不是  
    // 指数级。分类的原则是按照模N的余数分类　  
    #define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1  
      
    #include <cstdio>  
    #include <bitset>  
    #include <vector>  
    #include <queue>  
    using namespace std;  
      
    struct QNode {  
        int v, r; // v is value, r is remainder  
        QNode(int vv, int rr): v(vv), r(rr) {}  
        QNode(): v(0), r(0) {}  
    };  
      
    int main() {  
        int N;  
        while(scanf("%d", &N) != EOF) {  
            //bitset<N> bn;  
            queue<QNode> q;  
            q.push(QNode(1, 1));  
            while(!q.empty()) {  
                //bn.reset();  
                vector<bool> bn(N, false);  
                int s = q.size();  
                while(s--) {  
                    QNode t = q.front();  
                    if(t.r == 0) {  
                        printf("n = %d, m = %d, n*m = %d/n", N, t.v/N, t.v);  
                        goto ok;  
                    }  
                    q.pop();  
                    if(!bn[t.r * 10 % N]) {  
                        bn[t.r * 10 % N] = true;  
                        q.push(QNode(t.v * 10, t.r * 10 % N));  
                    }  
                    if(!bn[(t.r * 10 + 1) % N]) {  
                        bn[(t.r * 10 + 1) % N] = true;  
                        q.push(QNode(t.v * 10 + 1, (t.r * 10 + 1) % N));  
                    }  
                }  
            }  
    ok:;  
        }  
        return 0;  
    }