试题答案_找符合条件的整数

 分析与解法

题目中的直接做法显然不是一个令人满意的方法。还有没有其他的方法呢？答案是肯定的。

可以做一个问题的转化。由于问题中要求N * M的十进制表示形式里只含有1和0，所以N * M与M相比有明显的特征。我们不妨尝试去搜索它们的乘积N * M，这样在某些情况下需要搜索的空间要小很多。另外，搜索N * M，而不去搜索M，其实有一个更加重要的原因，就是当M很大时，特别是当M大于2³²时，某些机器就可能没法表示M了，我们就得自己实现高精度大整数类。但是考虑N * M的特点，可以只存储N * M的十进制表示中“1”的位置，这样就可以大大缩小表示N * M所需要的空间，从而使程序能处理数值很大的情况。因此，考虑到程序的推广性，选择了以N * M为目标进行计算。

换句话说，就是把问题从“求一个最小的正整数M，使得N * M的十进制表示形式里只含有1和 0 ” 变成求一个最小的正整数X，使得X的十进制表示形式里只含有1和0，并且X被N整除。

我们先来看一下X的取值，X从小到大有如下的取值：1、10、11、100、101、110、111、1000、1001、1010、1011、1100、1101、1110、1111、10000、……

如果直接对X进行循环，就是先检查X=1是否可以整除N，再检查X=10，然后检查X=11，接着检查X=100…（就像遍历二进制整数一样遍历X的各个取值）。

但是这样处理还是比较慢，如果X的最终结果有K位，则要循环搜索2^K次。由于我们的目标是寻找最小的X，使得X mod N= 0，我们只要记录mod N = i（0 <= i < N）的最小X就可以了。这样通过避免一些不必要的循环，可以达到加速算法的目的。那么如何避免不必要的循环呢？先来看一个例子。

设N=3，X=1，再引入一个变量J，J = X % N。直接遍历X，计算中间结果如表2-1所示。

表2-1

Num	1	2	3	4	5	6	7
N	3	3	3	3	3	3	3
X	1	10	11	100	101	110	111
J	1	1	2	1	2	2	0

表2-1计算110 % 3是多余的。原因是1和10对3的余数相同，所以101和110对3的余数相同，那么只需要判断101是否能整除3就可以了，而不用判断110是否能整除3。并且，如果X的最低3位是110，那么可以通过将101替换110得到一个符合条件的更小正整数。因此，对于mod N同余的数，只需要记录最小的一个。

有些读者可能会问，当X循环到110时，我怎么知道1和10对3的余数相同呢？其实，X=1，X=10是否能整除3，在X循环到110时都已经计算过了，只要在计算X=1，X=10时，保留X % N的结果，就可以在X=110时作出判断，从而避免计算X % N。

以上的例子阐明了在计算中保留X除以N的余数信息可以避免不必要的计算。下面给出更加形式化的论述。

假设已经遍历了X的十进制表示有K位时的所有情况，而且也搜索了X=10^K的情况，设10^K%N = a。现在要搜索X有K+1位的情况，即X=10^K+Y，（0<Y<10^K）。如果用最简单的方法，搜索空间（Y的取值）将有2^K-1个数据。但是如果对这个空间进行分解，即把Y按照其对N的余数分类，我们的搜索空间将被分成N-1个子空间。对于每个子空间，其实只须要判断其中最小的元素加上10^K是否能被N整除即可，而没有必要判断这个子空间里所有元素加上10^K是否能被N整除。这样搜索的空间就从2^K-1维压缩到了N-1维。但是这种压缩有一个前提，就是在前面的计算中已经保留了余数信息，并且把Y的搜索空间进行了分解。所谓分解，从技术上讲，就是对于“X模N”的各种可能结果，保留一个对应的已经出现了的最小的X（即建立一个长度为N的“余数信息数组”，这个数组的第i位保留已经出现的最小的模N为i的X）。

那么现在的问题就是如何维护这个“余数信息数组”了。假设已经有了X的十进制表示有K位时的所有余数信息。也有了X=10^K的余数信息。现在我们要搜索X有K+1位的情况，也即X=10^K+Y，（0<Y<10^K）时，X除以N的余数情况。由于已经有了对Y的按除N的余数进行的空间分解情况，即Y<10^K的余数信息数组。我们只须要将10^K%N的结果与余数信息数组里非空的元素相加，再去模N，看看会不会出现新的余数即可。如果出现，就在余数信息数组的相应位置增添对应的X。这一步只须要N次循环。

综上所述，假设最终的结果X有K位，那么直接遍历X，须要循环2^K次，而按照我们保留余数信息避免不必要的循环的方法，最多只需要（K-1）*N步。可以看出，当最终结果比较大时，保留余数信息的算法具有明显的优势。

下面是这个算法的伪代码：BigInt[i]表示模N等于i的十进制表示形式里只含1和0的最小整数。由于BigInt[i]可能很大，又因为它只有0和1，所以，只须要记下1的位置即可。比如，整数1001，记为（0, 3）= 10⁰+10³。即BigInt的每个元素是一个变长数组，对于模N等于i的最小X，BigInt的每个元素将存储最小X在十进制中表示“1”的位置。我们的目标就是求BigInt[0]，如代码清单2-17所示。

代码清单2-17

// 初始化

     for(i = 0; i < N; i++)

          BigInt[i].clear();

     BigInt[1].push_back(0);

 

     int NoUpdate = 0;

     for(i=1,j=10%N; ; i++,j=(j*10)%N)

     {

          bool flag = false;

          if(BigInt[j].size() == 0)

          {

               flag = true;

               // BigInt[j] = 10^i, (10^i % N = j)

               BigInt[j].clear();

               BigInt[j].push_back(i);

          }

          for(k = 1; k < N; k++)

          {

               if((BigInt[k].size() > 0)

                    && (i > BigInt[k][BigInt[k].size() - 1])

                    && (BigInt[(k + j) % N].size() == 0))

               {

                    // BigInt[(k + j) % N] = 10^i + BigInt[k]

                    flag = true;

                    BigInt[(k + j) % N] = BigInt[k];

                    BigInt[(k + j) % N].push_back(i);

               }

          }

          if(flag == false) NoUpdate++;

          else NoUpdate=0;

          // 如果经过一个循环节都没能对BigInt进行更新，就是无解，跳出。

          // 或者BigInt[0] != NULL，已经找到解，也跳出。

          if(NoUpdate == N || BigInt[0].size() > 0)

               break;

     }

     if(BigInt[0].size() == 0)

     {

          // M not exist

     }

     else

     {

          // Find N * M = BigInt[0]

     }

在上面的实现中，循环节取值N（其实循环节小于等于N，循环节就是最小的c，使得 10^c mod N = 1）。

这个算法其实部分借鉴了动态规划算法的思想。在动态规划算法的经典实例“最短路径问题”中，当处理中间结点时，只须要得到从起点到中间结点的最短路径，而不需要中间结点到那个端点的所有路径信息。“只保留模N的结果相同的X中最小的一个”的方法，与此思路相似。

扩展问题

1.    对于任意的N，一定存在M，使得N * M的乘积的十进制表示只有0和1吗？

2.    怎样找出满足题目要求的N和M，使得N * M < 2¹⁶，且N+M最大？

 

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