机器学习-决策树理论

决策树理论

本文先从熵说起，再到互信息，到信息增益。借助信息增益来确定决策树某节点的最优特征选择。使用递归的思想将决策树构建出来。
当树构建完成后，在使用此树做预测时，依然使用递归的思路。

所需基础

• 熵
• 数据结构-树
• 递归算法

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熵

决策树理论中始终离不开熵的身影。

图1 熵

图1中展示了各种熵H，由此韦恩图可知：

I(X;Y) = H(X) - H(X|Y) // 其中I(X;Y) 被称为互信息

上式在决策树中会被用到，请先记住。

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决策树 Decision Tree

顾名思义，决策树是用于决策的树。举个例子先

图2 是否去相亲

现实中在相亲之前，女生可根据一个个的feature（年龄、长相、收入、公务员）来对男生做判断，依据男生的各种条件来一层层决定是否和他相亲。

这种思维用决策树表示出来，即是图2。在每个节点上都有一个feature，以此feature的数值来产生分支。而在新的分支上，又可有新的节点再做分支，直到叶子节点即决定是否见面。

当前问题

为什么最开始先以“年龄”为判断标准，然后是长相、收入、公务员？

解答

由于目前没有足够数据的支撑，此处解释为：当使用树中的这种判断顺序时，可最快的做出决策 或者说 最有效的对目标人选进行选择。

注意：知晓feature的优劣，是决策树的核心！

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信息增益 Information Gain

我们使用信息增益来判断feature的优劣，以方便对feature做出选择。因为构建决策树时，必须知道每个节点处的feature是什么。

信息增益：表示得知feature A的信息，而使得类别X的信息的不确定性减少的程度。

结合相亲的案例对比的解释一下，见下表

相亲案例	算法中	特点
所有的相亲待选男生	原始的dataset	最混乱
使用某个属性比如年龄对待选者划分，分成了不大于30岁和大于30岁两个子群体	使用某个feature对dataset进行划分成多个subDataset	每个子群体的混乱程度较低

信息增益就是：使用这个feature将dataset划分成subDataset，划分前与后的熵之差。

用公式写出来就是：

g(D,A) = H(D) - H(D|A)

g(D,A)：对于数据集Dataset使用特征A之后的信息增益
H(D)： 是Dataset的熵（称为经验熵）
H(D|A)：Dataset在给定A情况下的条件熵（经验条件熵）

对比最开始提到的互信息和这里的信息增益，可看出来是一回事。
因此为了方便记忆和理解，可以把g(D,A)的公式和韦恩图图1结合起来。
类比如下：

互信息	信息增益
I(X;Y) = H(X) - H(X|Y)	g(D,A) = H(D) - H(D|A)

计算经验熵H(D)

$$H(D)=-\sum _{k=1}^K\frac{|C_k|}{|D|}log\frac{|C_k|}{|D|}$$
上式中：

• $|C_k|$是第k个类别对应的采样数据集的数目
• $|C_k|/|D|$指第k个label的个数占总数比值

举例，数据集如下面的“贷款表”

ID	年龄	是否有工作	是否有自己的房子	信贷情况	是否给贷款（label）
1	青年	否	否	一般	否
2	青年	否	否	好	否
3	青年	是	否	好	是
4	青年	是	是	一般	是
5	青年	否	否	一般	否
6	中年	否	否	一般	否
7	中年	否	否	好	否
8	中年	是	是	好	是
9	中年	否	是	很好	是
10	中年	否	是	很好	是
11	老年	否	是	很好	是
12	老年	否	是	好	是
13	老年	是	否	好	是
14	老年	是	否	很好	是
15	老年	否	否	一般	否

上表中，有两种label即$C_1$是和$C_2$否。其中，有9个是，6个否。则

$\frac{|C_1|}{|D|}=9/15$，$\frac{|C_2|}{|D|}=6/15$

因此$H(D)=-\frac{9}{15}\ast log(\frac{9}{15})-\frac{6}{15}\ast log(\frac{6}{15})$

计算经验条件熵H(D|A)

$$\begin{gathered} H(D|A)= \\ =\sum _{i=1}^n{p}_i\sum _{k=1}^{K}H(D_k|A_i) \\ =-\sum _{i=1}^n\frac{|D_i|}{|D|}\sum _{k=1}^K\frac{|D_{ik}|}{|D_i|}log\frac{|D_{ik}|}{|D_i|} \end{gathered}$$

其中：

• $|D_i|$，当某个feature有多种取值$a_1,a_2,...,a_i,...,a_n$时，则$|D_i|$是这个feature的第i个取值的对应dataset数目
• $|D_{ik}|$，在 $D_i$里 第$k$个label的样本数量。

依然拿贷款表举例:

• 在贷款表中第1个feature是年龄，有3种取值是青年中年和老年，分别各有5个。则$|D_1|$=5, $|D_2|$=5, $|D_3|$=5
• 对于年龄是青年的群体，即对于$D_1$而言，数据有2种label “是”和“否”，“是”有2个（表中ID为3,4），“否”有3个（表中ID为1,2,5）。则$|D_{11}|=2$, $|D_{12}|=3$
• 以此类推，$|D_{21}|=3,|D_{22}|=2$, $|D_{31}|=4,|D_{32}|=1$
• 最终对于特征A是‘’年龄“”时，
  $$\begin{gathered} H(D|A_1)=-\frac{|D_{11}|}{|D_1|}\ast log\frac{|D_{11}|}{|D_1|}-\frac{|D_{12}|}{|D_1|}\ast log\frac{|D_{12}|}{|D_1|} \\ =-\frac{2}{5}\ast log\frac{2}{5}-\frac{3}{5}\ast log\frac{3}{5}=0.97095 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} H(D|A_2)=-\frac{|D_{21}|}{|D_2|}\ast log\frac{|D_{21}|}{|D_2|}-\frac{|D_{22}|}{|D_2|}\ast log\frac{|D_{22}|}{|D_2|} \\ =-\frac{3}{5}\ast log\frac{3}{5}-\frac{2}{5}\ast log\frac{2}{5}=0.97095 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} H(D|A_3)=-\frac{|D_{31}|}{|D_3|}\ast log\frac{|D_{31}|}{|D_3|}-\frac{|D_{32}|}{|D_3|}\ast log\frac{|D_{32}|}{|D_3|} \\ =-\frac{4}{5}\ast log\frac{4}{5}-\frac{1}{5}\ast log\frac{1}{5}=0.72193 \end{gathered}$$
最终：
$$\begin{gathered} H(D|A=年龄)=p_1\ast H(D|A_1)+p_2\ast H(D|A_2)+p_3\ast H(D|A_3) \\ =\frac{|D_1|}{|D|}\ast H(D|A_1)+\frac{|D_2|}{|D|}\ast H(D|A_2)+\frac{|D_3|}{|D|}\ast H(D|A_3) \\ =5/15\ast 0.97095+5/15\ast 0.97095+5/15\ast 0.72193 \\ =0.88794 \end{gathered}$$

和经验熵相比，经验条件熵更复杂难懂些。笔者在这里对经验条件熵做一个简单的解释：
依据某个feature比如年龄的不同取值，将原始dataset分成多个subDataset即青年、中年、老年数据集, 则
H(D|A是年龄) =
青年数据集占比 * H(青年数据集)
+中年数据集占比 * H(中年数据集)
+老年数据集占比 * H(老年数据集)

构建树

第一步，
根据上面的方法，可以计算出所有feature的H(D|A)。
使用公式 gain=H(D)-H(D|A) 可求得 不同feature对应的gain。
最大gain的那个feature即是当前的最优feature，作为当前步的构建树的节点。
假设最优的是第一步使用的是“年龄”特征。

第二步，
有了第一个节点，依据年龄将dataset分成三个子集即青年数据集、中年数据集和老年数据集。
对各个子集分别再使用第一步中的方法（此处是递归思想），注意第一步用到的feature不考虑了。

接下来，就是使用递归继续构建树。

使用递归算法，终止条件为：

• 划分出的子集的熵为0，即子集都是同一个label
• 所有的feature都已经用完

三种构建决策树的方法

在上面的构建树的过程中，我们使用的是gain来确定最佳feature。这种方法是ID3。

其它的思路还有：

• C4.5
• CART

对新思路有兴趣的伙伴可自行学习。
有了ID3的基础，对C4.5和CART也不在话下。

决策树的使用

决策树使用的过程，就是不断决策然后在分支里再决策。

先使用决策树的根节点的feature，对该样本进行划分到不同分支，
在分支上再使用此对应的feature对样本继续分支，如此递归下去，当到达叶子节点时即输出。

可参照 图2 是否去相亲 去理解。

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参考

https://blog.youkuaiyun.com/c406495762/article/details/75663451