poj1095

【题意】

给有根二叉树标号，遵循以下原则

1、空树为0

2、k个节点的树标号小于k+1个节点的树

3、两个节点相同的树A和B，A的标号大于B，当且仅当（（A的左子树比B的左子树标号大）或（A的左子树标号和B的左子树标号相同且A的右子树标号比B的右子树标号大））

前几组标号形态如下

给定标号，输出对应的树

【输入】

多组数据，每组数据一个n表示树的标号

【输出】

对于每组数据，输出对应的树的中序表示法

首先有根二叉树的总数对应着卡特兰数

原理

令h(1)=1,h(2)=1，catalan数满足递归式：　　

h(n)= h(1)*h(n-1)+h(2)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(1) (其中n>=3)　　

例如：h(3)=h(1)*h(2)+h(2)*h(1)=1*1+1*1=2　　

h(4)=h(1)*h(3)+h(2)*h(2)+h(3)*h(1)=1*2+1*1+2*1=5　　

另类递归式：　　h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);　　

该递推关系的解为：　　h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,...)

n各节点的有根二叉树个数就对应着h[n+1]，为什么这么对应，也是比较好理解的

对于这道题，我们可以用分治的思想来做

已知当前树的标号，就可以求出来其左子树和右子树的标号

那么该树的中序表达式即为(L)X(R)，递归调用即可

这个怎么具体求，想的十分麻烦，这种规律性的最令人头疼了

program poj1095;
const
  l:array [0..19] of int64=(1,1,2,5,14,42,132,429,1430,4862,16796,58786,
  208012,742900,2674440,9694845,35357670,129644790,477638700,1767263190);
var
  i,n:longint;
  sum:array [-1..19] of int64;

function solve (now:longint):ansistring;
var
  i,k,q,p:longint;
  s:int64;
  ans:ansistring;
begin
  if now=0 then exit('');
  if now=1 then exit('X');
  for i:=0 to 19 do
    if sum[i]>=now then break;
  k:=i;
  now:=now-sum[k-1];
  s:=0;
  for i:=0 to k-1 do
    if s+l[i]*l[k-i-1]>=now then break
                            else s:=s+l[i]*l[k-i-1];
  q:=i;
  now:=now-s;
  ans:='';
  if q<>0 then ans:=ans+'('+solve(sum[q-1]+(now-1) div l[k-q-1]+1)+')';
  ans:=ans+'X';
  if k-q-1<>0 then ans:=ans+'('+solve(sum[k-q-2]+(now-1) mod l[k-q-1]+1)+')';
  exit(ans);
end;

begin
  sum[-1]:=0;
  for i:=0 to 19 do
    sum[i]:=sum[i-1]+l[i];
  repeat
    read(n);
    if n=0 then break;
    writeln(solve(n+1));
  until false;
end.