CINTA第一次作业

一. C语言编程实现一种迭代版本的简单乘法

代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;
int main() {
while (1) {
    long long a = 0, b = 0, sum = 0;
    printf("请输入要相乘的两个数：\n");
    cin >> a >> b;
    while (b) {
        if (b % 2) {
            sum += a;
        }
        b >>= 1;
        a <<= 1;
    }
    cout << "结果为：" << sum  << '\n';
    }
    return 0;
}

二.定理1.1 除法算法的完整证明

构造集合 S = {a − bk : k ∈ Z 且 a − bk ≥ 0}
1.存在性证明：
显然，r ≥ 0
易知集合S非空，由良序原则知，存在一个最小元 r∈S，且 r = a − bk
假设 r ≥ b，令 r = b + m ，r和b为整数，则m也未自然数
又 r = a - bk，则 m = a - (k+1)b
易知 m < r ，这与良序原则冲突
故 r ≥ b 不成立
即 r < b 得证
2.唯一性证明：
首先，假设不唯一，即存在两个整数对q,r和Q,R使得等式成立，其中，q ≠ Q ， r ≠ R ，则会有  
qb+r = Qb+R ，即(q-Q)b = R-r ，易知q-Q为整数，则可知R与r相差了b的整数倍，这与1的结论  
矛盾，故该假设矛盾，即整数对q和r唯一

三.

迭代版本的gcd算法

代码如下：

int gcd(int a, int b) {
    int temp;
    while (b != 0) {
        temp = b;
        b = a % b;
        a = temp;
    }
    return a;
}

(此处a,b均默认为正整数)

迭代版本的egcd算法

代码如下：

int* egcd(int a, int b) {
    int* res = new int[3];
    int r0 = 1, r1 = 0, s0 = 0, s1 = 1, q = 0, temp = 0, temp_r = 0, temp_s = 0;
    while (b != 0) {
        q = a / b;
        temp = b;
        b = a % b;
        a = temp;
        temp_r = r0 - q * r1;
        temp_s = s0 - q * s1;
        r0 = r1;
        r1 = temp_r;
        s0 = s1;
        s1 = temp_s;
    }
    res[0] = r0;
    res[1] = s0;
    res[2] = a;
    return res;
}

利用gcd算法，写程序完成以下函数的功能。输入:一个正整数n,输出:大于等于1，小于n，且与n互素的正整数的个数

代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;
int gcd(int a, int b) {
    int temp;
    while (b != 0) {
        temp = b;
        b = a % b;
        a = temp;
    }
    return a;
}
int main() {
    int n;
    printf("请输入一个正整数 n ：\n");
    cin >> n;
    int i = 1, count = 0;
    cout << "大于等于1，小于" << n << ",且与" << n << "互素的正整数有：";
    while (i < n) {
        if (gcd(n, i) == 1) {
            count++;
            cout << i << " ";
        }
        i++;
    }
    cout<<"共有："<<count<<"个\n";
    return 0;
}

四.

第二章第6题

证明如下：

根据 Bézout定理

令 $gcd(a,b)=ar+bs$ ，则 $g^{gcd(a,b)}=g^{ar+bs}=(g^a{)}^r\cdot (g^b{)}^s$
则 $g^{gcd(a,b)}modm$ = $((g^a{)}^{r}modm)\cdot ((g^b{)}^{s}modm)$
又 $g^{a}modm=1$ , $g^{b}modm=1$
根据模指数运算，可得$g^{gcd(a,b)}modm$的结果也为 1
即证得，$g^{gcd(a,b)}\equiv 1(modm)$

第二章第8题

证明如下：

$gcd(a,b)=d$ ,则令 $a=d\ast a_0\ast a_1\ast a_2\ast ...a_i$ , $b=d\ast b_0\ast b_1\ast b_2\ast ...b_n$
则 $a/d=a_0\ast a_1\ast a_2\ast ...a_i$ , $b/d=b_0\ast b_1\ast b_2\ast ...b_n$
根据gcd算法的定义，$a_0,a_1,a_2...a_i$ 与 $b_0,b_1,b_2...b_n$ 两两互不相等，即$a/d与b/d$互素
即证得，$gcd(a/d,b/d)=1$