二叉树的应用之一---堆

我们通常把堆 ( 一种二叉树 ) 使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统 虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。

堆（Heap）是一种数据结构，我们研究数据结构还是从三个部分了解，第一是逻辑结构，第二是存储结构，第三则是基础操作，堆应用很广泛，例如堆排序、Top-k问题等

逻辑结构：一棵完全二叉树，分为小根堆和大根堆两种，一个是要求其父亲始终小于孩子结点，一个要求父亲永远大于孩子节点。

存储结构：使用顺序存储来存储这个结构，完全可以用一个数组，但是为了扩容和一些后面的操作，采用顺序表会比较好一些，结构体里面有数据域指针、size和capacity三个部分。

基础操作：1、初始化，与顺序表的初始化完全相同，这里不过多赘述

2、Push：插入前首先要保证这是一个大堆或小堆，然后将数据插入到size指向的位置后size++，最后向上调整算法恢复成一个堆。

在这里要提一下向上调整算法，此算法使用前一定是一个堆才能使用，算法是直接针对数组使用的（这里后面堆排序会用到），在这里以小堆为例，我们插入的元素放在后面，它是作为孩子进来的，首先去找它的父亲节点，（找父亲节点和孩子节点这里也要注意，我们这里是从数组的0下标处开始存储的，因此找父亲节点是（i-1）/2，找孩子是2*i+1和2*i+2，若是从1开始存储，找的时候就不用-1或+1，这里做题的时候认真读题并验证一下再写后面），然后进行比较，若插入的这个数据比它的父亲数据还小就需要交换，因为此时的父亲一定小于此数据的兄弟，所以将这个数据调整上去那会符合小堆父亲<孩子的特点，然后再找到这个数据和此数据的父亲节点比较，直至此数据>父亲或数据调整到下标为0的位置为止。

3、Pop：删除操作我们要删除哪个元素呢？删除哪个比较有用？删除堆顶最有用，能找出小堆中最小的数据和大堆中最大的元素，也就是找出一个数组中最大或最小的数据，这时候就能稍微体现出堆的用处了，一定会应用于排序中，但是现在如何删除呢？不能直接覆盖，因为覆盖之后将会打乱所有的父亲兄弟之间的关系，就不是一个堆了，如何删除？size此时指向的是最后一个数据的后一个位置，我们首先要将首元素和尾部的元素交换，然后删除即可，删除后我们得到的是一个没有堆顶的堆，父亲和兄弟之间的关系没有变，也就是左子树和右子树都是堆，这就是我们向下调整算法使用前的条件，向下调整算法是为了将堆顶的这个数据调整到合适位置，使整体成为一个堆。

向下调整算法：也可以直接应用于数组，此时要将某一个父亲节点向下调整到合适位置，不一定是要调整整个树的根节点，例如此时左右子树为小堆，堆顶交换过来的数据比较大，我们就要将最小的元素拿上去，从左右小堆中选更小的那个孩子与之交换，然后继续找左右子树中小的那个与之交换，直至孩子的下标超出整个数组的长度，也就是刚刚删除的数组尾部元素的下标的数值，比如数组长度为10，下标是0-9共10个数据，删除的是下标为9的数据，此时数组中还剩9个数据，那下标一定<9，也就是<数组内元素个数，这时候就越界了，没有这个孩子，我们还要注意在选左右子树中大的那个数据时要防止右孩子为空，避免使用空指针的错误。

GetTop：直接return size-1指向的那个元素即可，千万别用--，这样我们传入的是结构体的指针可以直接找到整个结构体，若用--就会对size的值修改。

还有一个操作是判空，即size==0的时候堆为空返回1，否则返回0.

这就是堆的基础操作，实现代码在下面的链接中，大家可以去看一下2023.5.23数据结构堆的基础操作的实现 · 9130a9a · 胡浩琰/class108 - Gitee.com

我们说完了基础操作后再仔细研究一下两个算法，向上调整算法和向下调整算法，这两个算法可以直接应用于数组，但是各有各的前提，向上调整算法的前提是插入前一定是一个堆，向下调整算法的前提是左右子树一定是堆，假设一棵二叉树的高度是h，则某一个结点最多调整h-1次，将h与总结点数n等价替换一下log以2为底n+1的对数，这个计算大家可以参考一下完全二叉树的高度的计算，也就是向上调整一个算法的时间复杂度为O（log以2为底n的对数），向下调整算法调整一个数据最坏情况下的时间复杂度也是一样的，复杂度主要体现在交换的次数中。

下面我们来说两个堆的应用，堆这种数据结构可以应用于排序中，而且时间复杂度很可观，比之前学习的冒泡排序、暴力排序等要优化了太多太多，这个当数据很大的时候体现的很清楚。

堆排序：首先有一个大小为n的数组，如何排序？有一种思路是建一个堆，将数组中的元素依次Push进去，若降序排列则建大堆，若升序排列则建小堆，全部Push进去后依次GetTop的元素并将其放入数组中，以小堆为例，获取最小的放入数组第一个位置中，下一步将其删除并向下调整找出第二小的数据，以此类推直至堆为空，这种思路的时间复杂度暂时不计算，但是可以看到要排序n个元素就要进行n-1次删除，即向下调整算法，时间复杂度相对于其他排序好很多，但缺点是显而易见的，需要创建一个堆麻烦，而且要开辟额外的空间，会有空间复杂度，我们能不能直接对数组进行操作，避免了使用堆，留下了优点。完全可行，每一个数组都可以看作一个完全二叉树，首先我们要将这个数组调整为一个堆，第一个建堆的方式就是向上调整算法，使用前提是每次插入一个元素前一定是一个堆，那我们看这个数组就这样看，看作里面一开始没有数据，依次遍历，假插入，从数组开头开始遍历，假插入第一个元素，然后向上调整，假插入第二个元素，向上调整，直至到数组尾部为止，这样保证了每次假插入前都是堆，可以使用向上调整算法，但是这个算法在时间复杂度上稍微有瑕疵，这个后面再说，还有一种建堆方式就是向下调整建堆，我们使用向下调整的前提是左右子树都为堆，因此叶子节点都不需要调整，第一个分支节点有一个或两个孩子节点，此时需要也可以开始调整了，将这个分支节点对应的数据调到合适的地方使之成为一个堆，方便后面结点的调整，从最后一个孩子节点的父亲结点开始调整，也就是第一个分支节点开始，一直--，直到数组第一个元素为止，这时需要调整的元素的个数几乎少了一半，全部的叶子节点都不需要调整了，这就是建堆的方式，但是建什么堆如何决定？数据是从后向前依次找出来的，若排降序，先找的就是最大的元素，也就需要排大堆，因为数据从后向前放不会打乱前面所有数据的兄弟父亲关系，若直接找最小的元素将其安在第一个位置，则后面的次小的元素怎么找，没什么办法找了，因此排降序我们建立小堆，排升序我们创建大堆，倒着找，先找最大的，再找次大的，这就是一个假删除，开始我们建好堆了，直接将堆顶最大的数据与最后一个交换，然后end--，这就是一个假删除过程，然后向下调整算法恢复成堆，再找次大的元素，向下调整和交换找元素是一组，要找n个元素我们就要向下调整n-1次，若数组长度为n，我们就要找n-1个元素，因为排好前n-1个最后一个也一定排好了。这就是堆排序的过程，建堆------假删除并向下调整。

堆排序的细节和过程详细的看完后可以看一下这段代码2023.5.24堆的基本操作以及堆排序和利用文件中的数据玩Top-k · 3c377a8 · 胡浩琰/class108 - Gitee.com向上调整建堆的时间复杂度是O（N*log以2为底N的对数），向下调整算法的时间复杂度甚至可以估算为O（N），很节省时间，假删除和向下调整的时间复杂度是O（N*log以2为底N的对数），因此堆排序的时间复杂度为O（N*log以2为底N的对数），比冒泡排序中的O（N^2）的时间复杂度小了太多。

Top-k问题：在10000000个数中找最大的5个数这就是Top-k问题，看到这种问题的思路只有将其全部放入堆中然后排序找处前五个，但是这么多数据能全部放入内存吗？如果能，100亿个int类型的数据呢？因此不可能采用这种思路，我们换一种思路，可以将这些数据放入到文件中保存下来，然后可以遍历了，但是要将其全部放入堆中不可能。我们换一种利用堆的思路，我们要找的是前5个最大的数据，那我们就将前五个数据放入到堆中，这很容易放进去，采用一个数组，然后将这个数组调整为小堆，记住一定是小堆，因为此时堆顶是这五个数据中最小的那个数据，然后从第六个数据开始遍历所有数字，这个遍历是不可避免的，有文件我们可以随意遍历，遇到比堆顶元素大的元素就直接覆盖堆顶元素，然后向下调整算法将其重新调整为小堆，始终保持堆顶是最小的数据，当遍历到最后，这个堆中存的这五个数据一定是最大的五个数据，因为比堆顶大的全部进来了，外面没有比这个堆中最小的还要大的数据了，非常巧妙地一种算法，解决了大数据的问题。建堆---不满足则覆盖并向下调整建堆。

这就是堆的基础操作和堆的应用，堆很重要，在很多方面都能用到堆，因此基础操作和堆排序以及Top-k问题很重要，需要好好掌握。