计算位置X到Y的最少步数-算法题解

题目

# 问题描述

AB 实验同学每天都很苦恼如何可以更好地进行 AB 实验，每一步的流程很重要，我们目标为了缩短所需的步数。

我们假设每一步对应到每一个位置。从一个整数位置 `x` 走到另外一个整数位置 `y`，每一步的长度是正整数，每步的值等于上一步的值 `-1`， `+0`，`+1`。求 `x` 到 `y` 最少走几步。并且第一步必须是 `1`，最后一步必须是 `1`，从 `x` 到 `y` 最少需要多少步。

## 样例说明

- 整数位置 `x` 为 `12`，另外一个整数位置 `y` 为 `6`，我们需要从 `x` 走到 `y`，最小的步数为：`1`，`2`，`2`，`1`，所以我们需要走 `4` 步。
- 整数位置 `x` 为 `34`，另外一个整数位置 `y` 为 `45`，我们需要从 `x` 走到 `y`，最小的步数为：`1`，`2`，`3`，`2`，`2`，`1`，所以我们需要走 `6` 步。
- 整数位置 `x` 为 `50`，另外一个整数位置 `y` 为 `30`，我们需要从 `x` 走到 `y`，最小的步数为：`1`，`2`，`3`，`4`，`4`，`3`，`2`，`1`，所以我们需要走 `8` 步。

## 输入格式

输入包含 `2` 个整数 `x`，`y`。（`0<=x<=y<2^31`）

## 输出格式

对于每一组数据，输出一行，仅包含一个整数，从 `x` 到 `y` 所需最小步数。

 解题思路

        刚开始我的想法是暴力模拟，设置变量表示步长、步数、剩余步数......，模拟半天最终放弃，这时候才看到样例也是巨大，无法模拟，那就只能琢磨聪明一点的方法了

        题目中说第一步长度为1，且最后一步长度也为1，并且每次步长只能加一减一或是不变，按照贪心的想，想要所走步数最少，那么我的步长就要尽可能的大，所以最终的答案大体上是一个慢慢上升，又慢慢下降的序列，中间可能会夹杂着一些相等的数

假设最大步长为k，那么所走步数一定是先从1加到K,然后又从K减为1 ，类似上图

        在答案中可能会有两步步长一样长的情况，所以这个序列真实情况不一定是对称的，为了方便计算我们现在只表示答案序列中的连续部分，假设答案中的所有数字和为diff(即起点终点之间的距离)

        前面上升序列 （1+2+......+k）=k*(k+1)/2    后面的下降序列（k-1+.......+1）=k*(k-1)/2

都是公差为1的等差数列，那么答案序列中未被计算的长度 remain=diff - k*(k+1)/2 - k*(k-1)/2

        目前已知步数就是 k(前半部分被记入的步数) 和 k-1(后半部分被记入的步数)，接下来贪心的把剩余步数remain走完，我们已经有了一个连续的步数序列，并且相邻的步数的长度可以相同，那么剩余部分中大于最大步长k的部分我们就用k去走，循环减去k去走就可以了，然后剩余的小于k的距离我们一步就可以走完（将它插入到我们已经计算的连续等差数列中去）

        例如题目中所给样例答案，`1`，`2`，`3`，`2`，`2`，`1`，利用上面的思路，其中最大的步长为3，我们摘出来上升数列和下降数列后，剩余距离为2，小于最大步长，所以可以直接塞入答案序列当中，一步就能完成

        那么这个最大步长k是多少呢？最简单的方式直接从1开始枚举，最大不可能超过两点的距离。如果想要代码节省一点时间，我们可以想一下最大的步长会是多少呢？通过上面我们知道答案序列可以表示为  k*(k+1)/2 + k*(k-1)/2 +剩余距离，当剩余距离为0，左边的k才可能达到最大值，即   k*(k+1)/2 + k*(k-1)/2=diff，化简可以得到k*k=diff，即步长最大为根号diff，所以我们从1枚举到根号diff即可。

        这题不能扣细节，要把有序的部分拿出来，处理好有序的数据后在处理杂乱无章的那些步数。下面上代码

代码

public class Main {
    public static int solution(int xPosition, int yPosition) {
        
        int start=Math.min(xPosition,yPosition);
        int end=Math.max(yPosition,xPosition);
        int diff=end-start;
        int ans=Integer.MAX_VALUE;

        //枚举步数的最大值
        for(int i=1;i*i<=diff;i++){

            int sum=f(i)+f(i-1);//计算既定的走过的长度
            int remain=diff-sum;//剩余多少
            int cnt=0;//剩余距离需要多少步
            //按此种最大步长行走不妥则退出
            if(remain<0){
                break;
            }
            //如果剩余步数大于最大步长，则以最大步长行走
            while(remain>i){
                remain-=i;
                cnt++;
            }

            //剩余步数大于0小于最大步长，可以一步走出
            if(remain>0){
                cnt++;
            }
            
            ans=Math.min(ans, cnt+2*i-1);
        }

        return ans;
    }
    public static int f(int x){
        int k=x*(x+1)/2;

        return k;
    }

    public static void main(String[] args) {
        // You can add more test cases here
        System.out.println(solution(12, 6)  ==4);
        System.out.println(solution(34, 45) ==6);
        System.out.println(solution(50, 30) ==8);
    }
}