【动态规划】子序列问题

最长上升子序列

题目描述：

 解题思路：

核心思路：

用f[i]:表示以第i个数结尾的最大子序列，只需要找到比第i个小的最大子序列再加上1 即可；

----> f[i]=max(f[j]+1,f[i]);

定义 f[i] 表示以第 i 个元素结尾的最长上升子序列的长度，尝试从数组 a 的第一个元素开始，依次计算 f[0], f[1], ..., f[n-1]，直到最后一个元素。对于每个 i，都要考虑 a[i] 与它之前的元素 a[0], a[1], ..., a[i-1] 之间的关系。如果 a[i] 大于某个 a[j]（其中 j < i），那么 a[i] 可以接在 a[j] 的后面，形成一个更长的上升子序列。因此，我们可以通过遍历 j 来找出以 a[i] 结尾的最长上升子序列的长度。

代码：

核心代码：

 for(int j=0;j<i;j++)
        {
            if(a[j]<a[i])
            {
                f[i]=max(f[j]+1,f[i]);
            }
        }

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
const int N=1e4;
int a[N];

int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    
    for(int i=0;i<n;i++)
    cin>>a[i];
    
    vector<int>f(n,1);
    int mx=f[0];
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        for(int j=0;j<i;j++)
        {
            if(a[j]<a[i])
            {
                f[i]=max(f[j]+1,f[i]);
            }
        }
        if(f[i]>mx)
        mx=f[i];
    }
    cout<<mx<<endl;
}

最长公共子序列

题目描述：

 解题思路：

f[i][j]：表示在i到j之间的公共子序列的长度；

如果a[i]和b[j]相等：f[i][j]=f[i-1][j-1]+1;

不相等:f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-1]);

 代码：

 核心代码：

for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            if(a[i-1]==b[j-1])
            {
                f[i][j]=f[i-1][j-1]+1;
            }
            else
            {
                f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-1]);
            }
        }

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<vector>
using namespace std;
const int N=1e3;
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    string a,b;
    cin>>a;
    cin>>b;
    vector<vector<int>> f(n + 1, vector<int>(m + 1, 0));
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            if(a[i-1]==b[j-1])
            {
                f[i][j]=f[i-1][j-1]+1;
            }
            else
            {
                f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-1]);
            }
        }
    }
    cout<<f[n][m]<<endl;
}

后续会对子序列问题继续补充！！