洛谷P1006 传纸条（动态规划）

题目：

小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排坐成一个 m 行 n 列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标(1,1)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标 (m,n)。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。

在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。

还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用 0表示），可以用一个 [0,100] 内的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度之和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

分析：

首先，选择路径，其次选择两条路径，然后两条路径不能相交，最后，这两条路经的好感度之和最大。注意从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。

单看这个在棋盘中选取路径，然后要选取好感度最大的路径，就可以知道，要使用动态规划dp。选择两条路径，一条路径从（1，1）到（n，m），另一条相反，但是不能相交，可以简化的看成从（1，1）出发的两条不相交路径。

动态规划dp：

找出状态+状态参量+状态转移方程。

状态：（1）纸条1，2所在的位置 （2）纸条1，2在该位置下的各自最大好感度之和

状态参量：f[纸条1的x][纸条1的y][纸条2的x][纸条2的y]=好感度

状态转移方程：f[i][j][k][l]=max(f[i-1][j][k-1][l] , f[i-1][j][k][l-1] , f[i][j-1][k-1][l] , f[i][j-1][k][l])

+love[i][j]+love[k][l]

#include<iostream>
using namespace std;
const int MAX=51;
int n,m;
int f[MAX][MAX][MAX][MAX];
int love[MAX][MAX];
int step_max(int a,int b,int c,int d)
{
    int maxt=a;
    if(b>maxt) maxt=b;
    if(c>maxt) maxt=c;
    if(d>maxt) maxt=d;
    return maxt;
}
int main()
{
    cin>>m>>n;
    for(int i=1;i<=m;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            cin>>love[i][j];
    for(int i=1;i<=m;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            for(int k=1;k<=m;k++)
                for(int l=1;l<=n;l++)
                {
                    if(i!=k&&j!=l)
                    f[i][j][k][l]=step_max(f[i-1][j][k-1][l],f[i-1][j][k][l-1]
                    ,f[i][j-1][k-1][l],f[i][j-1][k][l-1])+love[i][j]+love[k][l];
                }
    cout<<f[m][n-1][m-1][n]<<endl;
    return 0; 
}

这样写能过，但是代价极高，开了四维数组，时间复杂度位O(n*n*m*m)，所以我们要优化一下：

观察状态转移方程可以知道，每一次的状态变化都会有i+j=k+l，所以我们可以采用一个step记录移动的总步数，及i+j，这样枚举的时候只需要枚举横坐标，而纵坐标可以用step计算出来。

#include<iostream>
using namespace std;
const int MAX=51;
int n,m;
int f[2*MAX][MAX][MAX];
int love[MAX][MAX];
int step_max(int a,int b,int c,int d)
{
    int maxt=a;
    if(b>maxt) maxt=b;
    if(c>maxt) maxt=c;
    if(d>maxt) maxt=d;
    return maxt;
}
int main()
{
    cin>>m>>n;
    for(int i=1;i<=m;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            cin>>love[i][j];
    //最多也就只能走n+m-1步 
    for(int i=1;i<=n+m-1;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            for(int k=1;k<=m;k++)
            {
                if(i-j<0||i-k<0) continue;
                if(j!=k) {
                    f[i][j][k]=step_max(f[i-1][j-1][k],f[i-1][j][k-1],f[i-1][j][k]
                    ,f[i-1][j-1][k-1])+love[j][i-j]+love[k][i-k];
                }
            }
    cout<<f[n+m-1][m-1][m]<<endl;
    return 0;        
} 

这样就做到了只开辟三维数组（实际上没省空间），只有三个循环，更快。