关于对约数个数公式的简单论证

最新推荐文章于 2025-12-05 14:37:41 发布

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#算法

本文介绍了一种计算多个正整数乘积的约数个数的方法，并提供了一个C++实现的示例。通过质因数分解，利用约数个数公式进行计算，最终结果对1e9+7取模。

约数个数

给定 n 个正整数 ai，请你输出这些数的乘积的约数个数，答案对 1e9+7

给定 n 个正整数 ai，请你输出这些数的乘积的约数个数，答案对 1e9+7取模。

输入格式

第一行包含整数 n。

接下来 n 行，每行包含一个整数 ai。

输出格式

输出一个整数，表示所给正整数的乘积的约数个数，答案需对 109+7取模。

数据范围

1≤n≤100
1≤ai≤2×1e9

输入样例：

输出样例：

拆分为多个质数相乘公式： $N=p1^{\alpha1 }*p2^{\alpha2}*p3^{\alpha3}*......*pn^{\alpha n}$

约数个数公式： $({\alpha1 }+1)*({\alpha2 }+1)*({\alpha3 }+1)*({\alpha4 }+1)*......*({\alpha n }+1)$

个人理解：由于pi都是质数,我们将N拆分的P1,P2,P3......各自互相相乘，不同个数就能形成不同的答案，因此想要得出N的约数个数，我们只需要将各个pi的任意组合就可以求出。

而pi的个数选择则是从 0~ $\alpha$ i，所以得出最后约束个数就是：

n= $({\alpha1 }+1)*({\alpha2 }+1)*({\alpha3 }+1)*({\alpha4 }+1)*......*({\alpha n }+1)$

代码实现：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
map<int, int>hashh;
const int mod = 1e9 + 7;
void get_divisors(int n)
{
    for (int i = 2; i <= n / i; i++)
    {
        while (n % i == 0)
        {
            n /= i;
            hashh[i]++;
        }
    }
    if (n > 1)hashh[n]++;
}
int main()
{
    int t; cin >> t;
    while (t--)
    {
        int n; cin >> n;
        get_divisors(n);
        int ans = 1;
        for (auto i : hashh)ans =ans* (i.second + 1)%mod;
    }
    return 0;
}