强化学习基础篇——规划与学习

强化学习中的规划（Planning） 与 学习（Learning） 是两类互补的核心技术，分别对应“利用环境模型”和“通过交互经验改进策略”两种范式。规划依赖对环境的显式建模（如状态转移概率和奖励函数），通过模拟推演优化策略；而学习则直接从经验数据中更新值函数或策略。两者结合可显著提升样本效率与策略性能。本文将解析规划与学习的核心方法、数学形式及融合框架。

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1. 规划与学习的定义与对比

• 规划（Planning）：
  基于环境模型（Model），通过模拟生成状态-动作序列，计算最优策略。典型方法包括动态规划（DP）和蒙特卡洛树搜索（MCTS）。
  数学形式：
  给定模型$M=(P(s^{\prime }|s,a),R(s,a))$，规划的目标是找到策略${\pi }^{\ast }$最大化期望累积奖励：
  $${\pi }^{\ast }=\arg \underset{\pi }{\max }\mathbb{E}\left[\sum _{t=0}^{\infty }{\gamma }^{t}R(s_t,a_t)\right]$$

• 学习（Learning）：
  无模型（Model-Free），通过与真实环境交互的样本数据，直接优化值函数或策略。代表算法包括Q-learning、策略梯度（PG）。
  数学形式：
  通过经验数据$(s_t,a_t,r_t,s_{t+1})$更新Q值（以Q-learning为例）：
  $$Q(s_t,a_t)\leftarrow Q(s_t,a_t)+\alpha \left[r_t+\gamma \underset{a^{\prime }}{\max }Q(s_{t+1},a^{\prime })-Q(s_t,a_t)\right]$$

核心区别：

• 规划需要环境模型，计算开销高但样本效率高；
• 学习无需模型，适应性强但依赖大量交互数据。

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2. 经典规划方法

2.1 动态规划（Dynamic Programming）

动态规划假设已知完整环境模型，通过迭代求解贝尔曼方程实现策略优化。

• 策略迭代（Policy Iteration）：
  交替进行策略评估（计算当前策略的值函数$V^{\pi }$）与策略改进（贪心更新策略）：
  策略评估：
  $$V^{k+1}(s)=\sum _a\pi (a|s)\sum _{s^{\prime }}P(s^{\prime }|s,a)\left[R(s,a)+\gamma V^k(s^{\prime })\right]$$
  策略改进：
  $${\pi }^{\prime }(s)=\arg \underset{a}{\max }\sum _{s^{\prime }}P(s^{\prime }|s,a)\left[R(s,a)+\gamma V^{\pi }(s^{\prime })\right]$$

• 值迭代（Value Iteration）：
  直接迭代更新最优值函数，直至收敛：
  $$V^{k+1}(s)=\underset{a}{\max }\sum _{s^{\prime }}P(s^{\prime }|s,a)\left[R(s,a)+\gamma V^k(s^{\prime })\right]$$

2.2 蒙特卡洛树搜索（MCTS）

MCTS通过模拟生成状态轨迹，结合探索与利用构建搜索树，广泛应用于游戏AI（如AlphaGo）。
核心步骤：

1. 选择（Selection）：从根节点出发，基于UCB准则选择子节点；
2. 扩展（Expansion）：若节点未完全展开，添加新子节点；
3. 模拟（Simulation）：从新节点随机采样至终止状态；
4. 回溯（Backpropagation）：沿路径更新节点统计量（访问次数、平均奖励）。

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3. 无模型学习方法

3.1 Q-learning

通过时序差分（TD）更新Q值，收敛至最优动作价值函数$Q^{\ast }$：
$$Q(s,a)\leftarrow Q(s,a)+\alpha \left[r+\gamma \underset{a^{\prime }}{\max }Q(s^{\prime },a^{\prime })-Q(s,a)\right]$$

3.2 策略梯度（Policy Gradient）

直接优化参数化策略${\pi }_{\theta }(a|s)$，沿梯度方向最大化期望回报：
$${\nabla }_{\theta }J(\theta )=\mathbb{E}\left[\sum _{t=0}^T{\nabla }_{\theta }\log {\pi }_{\theta }(a_t|s_t)\cdot Q^{\pi }(s_t,a_t)\right]$$

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4. 规划与学习的融合框架

4.1 Dyna-Q

Dyna-Q将规划与学习结合，交替进行真实环境交互和模型模拟：

1. 学习阶段：从真实经验更新Q值；
2. 规划阶段：从模型采样虚拟经验，多次更新Q值。
   算法流程：

for 每次交互：
    执行Q-learning更新
    更新模型$M \leftarrow (s,a,r,s')$
    for k次规划步骤：
        从M采样(s,a,r,s')
        执行Q-learning更新

4.2 AlphaZero

AlphaZero融合MCTS与深度强化学习，通过神经网络指导规划：

• 神经网络：输入状态$s$，输出策略$\pi (a|s)$和值估计$V(s)$；
• MCTS过程：使用神经网络预测引导搜索，生成改进的策略分布；
• 训练目标：最小化策略与MCTS输出的KL散度，同时拟合值函数：
  $$\mathcal{L}=(z-V(s){)}^2-{\pi }_{\text{MCTS}}^T\log \pi (a|s)+c\Vert \theta {\Vert }^2$$

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5. 核心挑战与前沿方向

1. 模型误差传递：不准确的环境模型会导致规划失效。
   解决方案：贝叶斯模型集成、模型预测控制（MPC）实时修正。

2. 高维状态空间：传统规划方法难以处理图像输入。
   解决方案：深度生成模型（如VAE、GAN）压缩状态表示。

3. 实时性要求：规划耗时可能限制实时决策。
   解决方案：分层规划（Hierarchical Planning）、轻量级模型蒸馏。

4. 多任务泛化：单一模型需适应多种任务。
   解决方案：元学习（Meta-RL）结合模型自适应。

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6. 总结

规划与学习是强化学习的“双引擎”：规划利用模型实现高效策略搜索，学习通过交互适应未知环境。两者融合（如Dyna-Q、AlphaZero）兼具样本效率与策略最优性，成为游戏AI、自动驾驶等复杂场景的核心技术。未来，随着深度模型与规划算法的进一步结合，强化学习有望在更广泛的任务中实现人类水平的决策能力。