埃式筛,欧拉筛(数论)

埃式筛 / 欧拉筛求质数

在开始的开始，推荐两个视频，额，我的入门视频(还没开始讲就让别人去别处的屑(bushi))

小破站(嗯，这个老师很生动)

小破站（实际上我是这个老师粉丝…）

现在假如给我们一个题目，让你求出在$[1,Limit]$ 内所有的质数，应该如何去做呢

首先在最开始，先把我老是忘记的两个知识点写下来

• 0不是质数
• 1不是质数

满足了，老是忘…

首先最容易想到的是朴素的筛法

我们将$[1,Limit]$ 内所有的数遍历出来，然后挨个去判断是否为质数

因为这个方法太过简单(bushi) 所以就不赘述了，具体的两个小细节放在代码里说

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long int lli;
vector<lli>info;
lli Limit;
bool origin(lli number){
    lli Judge = sqrt(number) + 1;
    //把这个数存下来避免重复运算，单一可以用i*i这种方式确定，因为sqrt运算慢
    for(lli temp = 2 ; temp <= Judge ; temp++){
        if(number % temp == 0) return 0;
    }
    return 1;
}
signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
    cin >> Limit;
    info.push_back(2);
    for(lli temp = 3 ; temp <= Limit ; temp += 2){//2的倍数肯定不是质数
        if(origin(temp)) info.push_back(temp);
    }
    return 0;
}

嗯，大道至简，赏赐你一个TLE， 不用谢

下面我们就来介绍两种更加优化的筛法：埃式筛/欧拉筛

埃式筛法 Era_sieve $O(n\log (\log n))$

我们发现，一个合数一定是由某个素数相乘得来的

所以埃式筛法的核心便是：先求出一个素数，然后将素数的倍数标记下来
那么以后遍历到这个数就可以判断它不是素数了

给出一个简单的过程：$Limit=20$

2 { 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , 18 , 20 } 2\quad\quad\quad\{4,6,8,10,12,14,16,18,20\} 2{4,6,8,10,12,14,16,18,20}

3 { 6 , 9 , 12 , 15 , 18 } 3\quad\quad\quad\{6,9,12,15,18\} 3{6,9,12,15,18}

$4None$

5 { 5 , 10 , 15 , 20 } 5\quad\quad\quad\{5,10,15,20\} 5{5,10,15,20}

$\dots$

7 { 14 } 7\quad\quad\quad\{14\} 7{14}

$\cdots$

懒得搞下去了，相信不难懂

那么就到了愉快的代码时间

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long int lli;
lli Limit;
vector<lli>info;
bitset<lli(1e8 + 10)> Check;
void Era_sieve(lli Limit){
    for(lli temp = 2 ; temp <= Limit ; temp++){
        if(Check[temp] == 0){
            info.push_back(temp);
            for(lli temp2 = temp*temp; temp2 <= Limit ; temp2 += temp)
                Check[temp2] = 1;
        }
    }
}
signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
    cin >> Limit;
    Era_sieve(Limit);
    return 0;
}

欧拉筛法 Euler_sieve $O(n)$

首先要明白为啥欧拉算法要更优，在之前的表格中，有些数字被重复赋值

举个例子：我们把那张表格复制一份下来

2 { 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , 18 , 20 } 2\quad\quad\quad\{4,6,8,10,12,14,16,18,20\} 2{4,6,8,10,12,14,16,18,20}

3 { 6 , 9 , 12 , 15 , 18 } 3\quad\quad\quad\{6,9,12,15,18\} 3{6,9,12,15,18}

$4None$

5 { 5 , 10 , 15 , 20 } 5\quad\quad\quad\{5,10,15,20\} 5{5,10,15,20}

$\dots$

7 { 14 } 7\quad\quad\quad\{14\} 7{14}

$\cdots$

不难发现，数字$12$, $18$ 都被重复遍历了多次，所以埃式筛法才不是线性的

所以我们尝试让这些数字只被遍历一次，这样就达到了线性的效果

对于一个合数来说，我们只需要让它被最小的质数质数筛掉就好了

所以我们将之前求得得=的数有小到大存起来，之后遍历这些素数，如果这个数可以被某一个质数整除，那么就结束这个循环

上代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long int lli;
lli Limit;
vector<lli>info;
bitset<lli(1e8 + 10)> Check;
void Euler_sieve(lli Limit){
    for(lli temp = 2 ; temp <= Limit ; temp++){
        if(Check[temp] == 0) info.push_back(temp);
        for(lli temp2 = 0 ; temp*info[temp2] <= Limit ; temp2++){
            Check[temp*info[temp2]] = 1;
            if(temp % info[temp2] == 0) break;
        }
    }
}
signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
    cin >> Limit;
    Euler_sieve(Limit);
    return 0;
}

完结撒花

另外祝今晚CF顺利，还有不要怪我没写注释，我懒…