2013-04 黄金连分数

day4

题目描述：

本题为填空题，只需要算出结果后，在代码中使用输出语句将所填结果输出即可。
黄金分割数0.61803...是个无理数，这个常数十分重要，在许多工程问题中会出现。有时需要把这个数字求得很精确。
对于某些精密工程，常数的精度很重要。也许你听说过哈勃太空望远镜，它首次升空后就发现了一处人工加工错误，对那样一个庞然大物，其实只
是镜面加工时有比头发丝还细许多倍的一处错误而已，却使它成了“近视眼”！！
言归正传，我们如何求得黄金分割数的尽可能精确的值呢？有许多方法。
比较简单的一种是用连分数：
                                1
黄金数 = ----------------------------------
                                 1
                  1+ -------------------
                                   1
                         1+---------------------
                                      1
                                1+-------------------
                                            1+...
               
这个连分数计算的“层数”越多，它的值越接近黄金分割数。
请你利用这一特性，求出黄金分割数的足够精确值，要求四舍五入到小数点后100位。
小数点后3位的值为：0.618；
小数点后4位的值为：0.6180；
小数点后5位的值为：0.61803；
小数点后7位的值为：0.6180340。（注意尾部的0，不能忽略）
你的任务是：写出精确到小数点后100位精度的黄金分割值。
注意：尾数的四舍五入！尾数是0也要保留！

题目分析：

1.化为求斐波那契相邻两项的比值，到多少项？越多越精确，n/n+1项，n再往上增加，这个比值的小数点后101位是稳定的，也就是不变的

2.double无法演示100位小数，应该用BigInterger和BigDecimal

注意：我们需要求的是当层数足够大之后，小数点后101位已经不会发生改变的值（需要将第101位数四舍五入），而不是单纯的斐波那契相邻两项相除后，截取100位小数

题解：

public class lq_2013_04 {
public static void main(String[] args) {
	BigInteger a = BigInteger.ONE;
	BigInteger b = BigInteger.ONE;
	for(int i=3;i<500;i++) {
		BigInteger t = b;
		b=a.add(b);
		a=t;
	}
	BigDecimal devide = new BigDecimal(a,110).divide(new BigDecimal(b,110),BigDecimal.ROUND_HALF_DOWN);
	//此处使用ROUND_HALF_DOWN五舍六入
	System.out.println(devide.toPlainString().substring(0,103));//截取0~103位（不包括103）
	//得出的结果需要将最后一位数四舍五入再提交
	
}
}

答案为：System.out.println("0.6180339887498948482045868343656381177203091798057628621354486227052604628189024497072072041893911375");

知识点补充 ：

java大数字运算：

在 Java 中提供了用于大数字运算的类，即 java.math.BigInteger 类和 java.math.BigDecimal 类。这两个类用于高精度计算，其中 BigInteger 类是针对整型大数字的处理类，而 BigDecimal 类是针对大小数的处理类。

BigInteger 类

如果要存储比 Integer 更大的数字，Integer 数据类型就无能为力了。因此，Java 中提供 BigInteger 类来处理更大的数字。

BigInteger 类型的数字范围较 Integer 类型的数字范围要大得多。BigInteger 支持任意精度的整数，也就是说在运算中 BigInteger 类型可以准确地表示任何大小的整数值。

除了基本的加、减、乘、除操作之外，BigInteger 类还封装了很多操作，像求绝对值、相反数、最大公约数以及判断是否为质数等。

要使用 BigInteger 类，首先要创建一个 BigInteger 对象。BigInteger 类提供了很多种构造方法，其中最直接的一种是参数以字符串形式代表要处理的数字。这个方法语法格式如下：

BigInteger(String val)

这里的 val 是数字十进制的字符串。例如，要将数字 5 转换为 BigInteger 对象，语句如下：

BigInteger bi = new BigInteger("5")

注意：这里数字 5 的双引号是必需的，因为 BigInteger 类构造方法要求参数是字符串类型。

创建 BigInteger 对象之后，便可以调用 BigInteger 类提供的方法进行各种数学运算操作，表 1 列出了 BigInteger 类的常用运算方法

表1 BigInteger类的常用运算方法

方法名称	说明
add(BigInteger val)	做加法运算
subtract(BigInteger val)	做减法运算
multiply(BigInteger val)	做乘法运算
divide(BigInteger val)	做除法运算
remainder(BigInteger val)	做取余数运算
divideAndRemainder(BigInteger val)	做除法运算，返回数组的第一个值为商，第二个值为余数
pow(int exponent) pow（int 指数）	做参数的 exponent 次方运算
negate()	取相反数
shiftLeft(int n) shiftLeft（int n）	将数字左移 n 位，如果 n 为负数，则做右移操作
shiftRight(int n) shiftRight（整数 n）	将数字右移 n 位，如果 n 为负数，则做左移操作
and(BigInteger val)	做与运算
or(BigInteger val)	做或运算
compareTo(BigInteger val)	做数字的比较运算
equals(Object obj)	当参数 obj 是 Biglnteger 类型的数字并且数值相等时返回 true, 其他返回 false
min(BigInteger val)	返回较小的数值
max(BigInteger val)	返回较大的数值

BigDecimal 类

BigInteger 和 BigDecimal 都能实现大数字的运算，不同的是 BigDecimal 加入了小数的概念。一般的 float 和 double 类型数据只能用来做科学计算或工程计算，但由于在商业计算中要求数字精度比较高，所以要用到 BigDecimal 类。BigDecimal 类支持任何精度的浮点数，可以用来精确计算货币值。

BigDecimal 常用的构造方法如下。

• BigDecimal(double val)：实例化时将双精度型转换为 BigDecimal 类型。
• BigDecimal(String val)：实例化时将字符串形式转换为 BigDecimal 类型。

BigDecimal 类的方法可以用来做超大浮点数的运算，像加、减、乘和除等。在所有运算中，除法运算是最复杂的，因为在除不尽的情况下，末位小数的处理方式是需要考虑的。

下面列出了 BigDecimal 类用于实现加、减、乘和除运算的方法。

BigDecimal add(BigDecimal augend)    // 加法操作
BigDecimal subtract(BigDecimal subtrahend)    // 减法操作
BigDecimal multiply(BigDecimal multiplieand)    // 乘法操作
BigDecimal divide(BigDecimal divisor,int scale,int roundingMode )    // 除法操作

其中，divide() 方法的 3 个参数分别表示除数、商的小数点后的位数和近似值处理模式。

表 2 列出了 roundingMode 参数支持的处理模式。

表2 roundingMode参数支持的处理模式

模式名称	说明
BigDecimal.ROUND_UP	商的最后一位如果大于 0，则向前进位，正负数都如此
BigDecimal.ROUND_DOWN	商的最后一位无论是什么数字都省略
BigDecimal.ROUND_CEILING	商如果是正数，按照 ROUND_UP 模式处理；如果是负数，按照 ROUND_DOWN 模式处理
BigDecimal.ROUND_FLOOR	与 ROUND_CELING 模式相反，商如果是正数，按照 ROUND_DOWN 模式处理； 如果是负数，按照 ROUND_UP 模式处理
BigDecimal.ROUND_HALF_ DOWN	对商进行五舍六入操作。如果商最后一位小于等于 5，则做舍弃操作，否则对最后 一位进行进位操作
BigDecimal.ROUND_HALF_UP	对商进行四舍五入操作。如果商最后一位小于 5，则做舍弃操作，否则对最后一位 进行进位操作
BigDecimal.ROUND_HALF_EVEN	如果商的倒数第二位是奇数，则按照 ROUND_HALF_UP 处理；如果是偶数，则按 照 ROUND_HALF_DOWN 处理