weixin_73200325的博客

这是从乘积求导公式一步步变形得来的。

我们可以随便选两个，用detABdetAdetB来直接验算。

下面把三类常见立体的公式汇总在一张“速查表”，然后用几句话说明它们之间最经典的关系。

指数运算法则（指数律）是代数里最常用的基本法则之一，适用于实数指数（常见情况整数/有理数/实数），底数需满足相应限制。下面分条总结：am⋅an=am+n(a>0)a^m \cdot a^n = a^{m+n} \quad (a>0)am⋅an=am+n(a>0)aman=am−n,(a≠0)\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \quad (a\neq 0)anam​=am−n,(a=0)(am)n=amn\left(a^m\right)^n = a^{mn}(am)n=amn

的通项公式与求和公式。（像思维导图那样）？

之前，中国的《九章算术》、印度的数学家已经知道一些小次方展开。，来直接得到展开式中各项的规律和系数，这就是。的二项展开式，它共有 (n + 1) 项。展开，需要一项一项去乘，非常麻烦。这就是二项式定理，等式右边即为。如果手工去乘，几乎不可能。

但同样的 3 个人（比如 A、B、C），内部可以有。但是，组合不考虑顺序，而排列考虑顺序。例如：从 5 个人中选 3 个人。个不同的元素中，选出。

排列数 (Permutation)从nnn个不同元素中，取出rrr个元素，按顺序排列的方式数。Anrn!n−r!}{(n-r)!Anrn−rn!​组合数 (Combination)从nnn个不同元素中，取出rrr个元素，不考虑顺序的方式数。Cnrn!r!n−r!}{r!(n-r)!Cnrr!n−rn!​。

n!n!n!

这个公式不是凭空写出来的，而是。在 1808 年提出的。阶乘的出现主要是为了解决。这就是阶乘公式的来源。

Cnknkn!k!n−k!}{k!(n-k)!Cnk​kn​k!n−kn!​含义：从nnn个不同元素中选kkk个的方式数。n!n!n!表示nnn的阶乘，即n×n−1×n−2×⋯×1n×n−1×n−2×⋯×1。kkk表示选出的个数。

就正好是杨辉三角第 4 行的数字。所以杨辉三角就是组合数的图形化表示。这正是“杨辉三角”的生成规律。就是“组合数”，而杨辉三角。⚠️ 注意：如果我们从。

观察这个近似长方形，它的长是由圆的周长的一半组成的。：长方形的宽就是圆的半径 ( r )。

根据π的定义，我们有 π = C / d。

导数：变化率。微分：变化量的近似。积分：累积量。联系：微积分基本定理揭示导数与积分互为逆运算。提出问题：科学需要研究“瞬间变化”（导数/微分）和“整体累积”（积分）。发现联系：牛顿和莱布尼茨发现了它们之间的互逆关系。这意味着积分可以通过“求原函数”这种简单的方式解决，而不必每次都求极限和。构建工具：通过极限这一基础，严格地定义了导数和积分。广泛应用：这套强大的工具成为了描述和理解一切变化与累积现象的标准语言，从行星运动到金融市场，无处不在。微分是“切”和“估”，着眼于局部；

特征导数积分核心思想“分割”求瞬时变化率“求和”求累积总量要解决的问题瞬时速度、切线斜率曲线下面积、总位移发明动机物理学（运动）和几何学（切线）几何学（面积）和物理学（累积量）关键操作取差商的极限取无穷求和的极限相互关系互逆运算（由微积分基本定理连结）互逆运算（由微积分基本定理连结）导数是一个数，是一个变化率，是一个斜率。它关注的是“瞬间变化的速率是多少”。微分是一个函数变化量的线性估计，是一个过程。它关注的是“当输入变化一点点时，输出具体大约变化了多少”。特征导数微分本质。

这个问题问得非常好 👍很多同学都会疑惑：“导数我能理解是变化率，积分我能理解是面积，那微分到底是哪里来的？是不是凭空捏造的符号？”其实微分的来源非常自然，可以从历史和数学逻辑两方面来看。牛顿的“流数法”莱布尼茨的“无穷小法”莱布尼茨把自变量的一个极小变化记作 dxdxdx，因变量的极小变化记作 dydydy。定义：dydx=f′(x)\frac{dy}{dx} = f'(x)dxdy​=f′(x)所以“微分”本来就是莱布尼茨为了书写方便发明出来的符号，把“无穷小变化量”表达出来。微分是“导数的语言

在微积分初创时期（17-18世纪），牛顿和莱布尼茨等大师对极限的理解是动态和直观的。“当一个变量趋近于某个值时，函数值也趋近于一个确定的值。或者使用“无穷小量”的概念：一个“既不是零，但又比任何给定的数都要小”的神秘量。这种定义的优点与缺点：优点：非常直观，容易理解和产生灵感。凭借这种直觉，他们解决了大量科学和几何学中的实际问题，取得了辉煌的成就。缺点逻辑上不严谨，建立在模糊的几何直观和哲学思辨之上。“趋近”是什么意思？它是一个动态过程，而不是一个静态的、可验证的状态。“无穷小”是什么？

到 19 世纪，数学家觉得牛顿/莱布尼茨的方法“直观但不严谨”。于是柯西 (Cauchy)柯西极限定义lim⁡x→afxL⟺∀ε0∃δ00∣x−a∣δ⇒∣fx−L∣εx→alim​fxL⟺∀ε0∃δ00∣x−a∣δ⇒∣fx−L∣ε这就彻底避免了“无穷小量到底是什么”的争论。改进之处把模糊的“无穷小”替换为严谨的“ε–δ 语言”。统一了数列极限、函数极限的处理。

用简单的方式介绍（punctured neighborhood，又叫。

函数fxf(x)fx在x0x=0x0lim⁡x→0fxf0x→0lim​fxf0极限存在lim⁡x→0fxlimx→0​fx存在；函数值存在f0f(0)f0有定义；两者相等：极限值等于函数值。

再反过来看： 地面湿 (B) 是 下雨 (A) 的必要条件吗？这说明“地面不湿”是“没下雨”的充分条件，“没下雨”是“地面不湿”的必要条件。： 下雨 (A) 是 地面湿 (B) 的必要条件吗？因为地面湿 (B) 不一定是因为下雨 (A)，也可能是洒水车洒水、消防栓漏水等。也就是说，没有下雨 (¬A)，地面也可能湿 (B 可以为真)。反过来看： 地面湿 (B) 是 下雨 (A) 的什么条件？： 下雨 (A) 是 地面湿 (B) 的充分条件吗？A=下雨, B=地面湿。A ⇒ B (下雨是地面湿的充分条件)。

对数是指数运算的“逆运算”。如果。

平面上到一个定点（焦点）与一条定直线（准线）的距离相等的点的轨迹，就是抛物线。焦点：点FFF准线：直线ddd顶点：焦点到准线的中点。

a2x2​b2y2​1b2x2​a2y2​1a2x2​−b2y2​1a2y2​−b2x2​1y22pxx22pyc2a2−b2c2a2b22p​eac​0e1eac​e1e1(±a0)(0±a)(±a0)(0±a)(00)(±c0)(0±c)(±c0)(0±c)(2p​0)(

平面上到两个定点（焦点）的距离的差的绝对值为常数的点的轨迹，就是双曲线。F1−c0F2c0F1​−c0F2​c02a2a2a，其中ca0c>a>0ca0。

在平面上，到两个定点（称为焦点）的距离之和是一个常数的点的轨迹，就是椭圆。有两个点F1F_1F1​和F2F_2F2​（焦点）。平面上任意一点PPP，如果满足PF1PF22aa两焦点间距的一半PF_1 + PF_2 = 2a \quad (a > \text{两焦点间距的一半})PF1​PF2​2aa两焦点间距的一半那么点PPP就在椭圆上。圆是到一个点的距离相等的点的集合；椭圆是到两个点的距离之和相等的点的集合。定义。

N{012}Z{−2−1012。

写作习惯上，sin⁡2x\sin^2 xsin2x就是sin⁡x2(\sin x)^2sinx2。写成sin⁡x2\sin x^2sinx2时通常按优先级读作sin⁡x2\sin(x^2)sinx2，但为避免歧义最好写成\sin(x^2)或(\sin x)^2。

本文介绍了求解指数不等式时取对数的步骤：首先给出原式|q|^(n-1)<ε，然后利用对数性质ln(a^b)=blna两边取自然对数，将指数降为乘法系数(n-1)ln|q|<lnε，从而简化不等式求解。关键作用是通过对数运算将指数问题转化为更易处理的乘法问题。

因式分解:把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解。十字相乘:因式分解的重要方法之一。

✅一句话总结根就是方程的解，也就是让方程成立的那个数。在图像上，就是函数图像与xxx-轴的交点横坐标。在数学里，根（root）指的是一个方程的解。x2−5x60x^2-5x+6=0x2−5x60如果代入x2x=2x222−5⋅26022−5⋅260说明2 是这个方程的一个根。同理x3x=3x3也是根。👉 所以，根就是让方程成立的数。

本文详细解析了双曲正弦函数 ( y = \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} ) 反函数的求解过程。通过设 ( t = e^x ) 将方程转化为二次方程 ( t^2 - 2yt - 1 = 0 )，选择正根后回代得到反函数 ( x = \ln(y + \sqrt{y^2 + 1}) )，即反双曲正弦函数 ( \operatorname{arsinh} y )。文章总结了反函数求解的通用步骤：交换变量、化简方程、解方程选根、回代并确定定义域，适用于指数、对数、分式、双曲函数等复杂形