浅谈矩阵 矩阵快速幂 动态dp 矩阵求逆

1 矩阵

1.1 矩阵乘法

题目

一个 $n\ast m$ 阶矩阵乘一个 $m\ast k$ 阶矩阵得到一个 $n\ast k$ 阶矩阵

$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\\ e& f\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}g& h\\ i& j\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}?& ?\\ ?& ?\\ ?& ?\end{array}\right]$

• 很简单的理解方式: 我们称横着的蓝色圈为 $X$ (行向量) , 竖着的蓝色圈为 $Y$ （列向量）
• 假设矩阵 $A$ 为 $n\ast m$ , 矩阵 $B$ 为 $m\ast k$ , 那么 $A$ 提供 $n$ 行 $X$ , $B$ 提供 $k$ 列 $Y$
• 每个 $X$ 和 $Y$ 长度都为 $m$ , 两个运算方式为 $X\ast Y=X_1{Y}_1+X_2{Y}_2+...+X_{m}Ym$
• 最终结果矩阵 $C$ , $C_{i,j}$ 的结果由 $A$ 的第 $i$ 行 $X$ 与 $B$ 的第 $j$ 列 $Y$ 运算得来

 for(int i=1;i<=n;i++)
       for(int j=1;j<=k;j++)
            for(int t=1;t<=m;t++)
                C[i][j] += A[i][t]*B[t][j];

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1.2 单位矩阵

• 在乘法中 $a\ast 1=a$ , $1$ 即位乘法中的单位

• 而在矩阵乘法中, 假设有矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\end{array}\right]$

• 由于矩阵乘法不具有交换律，因此有两种情况

• 若 $A\ast “1”=A$ ,那么单位矩阵应为 $3\ast 3$ 阶的矩阵

• 而
  $\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\end{array}\right]$

• 若 $“1”\ast A=A$ ,那么单位矩阵应为 $2\ast 2$ 阶的矩阵

• 而
  $\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\end{array}\right]$

• 对角线为 $1$ 其余为 $0$ 的矩阵

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1.3 矩阵乘法的结合律

假设现在有三个矩阵 $A,B,C$

$A:\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 1& 2\end{array}\right]B:\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\\ 1& 1\end{array}\right]C:\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right]$

$(AB)C=\left[\begin{array}{cc}4& 6\\ 5& 6\end{array}\right]C=\left[\begin{array}{cc}10& 10\\ 11& 11\end{array}\right]$

$A(BC)=A\left[\begin{array}{cc}2& 2\\ 3& 3\\ 2& 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}10& 10\\ 11& 11\end{array}\right]$

证明:

因此满足 $(AB)C=A(BC)$ , 也就可以写成 $ABC$ 的形式

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1.4 矩阵快速幂

题目

对于 $n\ast n$ 的矩阵的 $A$，其可以对自身乘法，对于求 $A^k$ 的矩阵，可以通过快速幂优化 , 复杂度为 $O(n^3\log k)$

struct Matrix{
	int a[105][105];
	Matrix() {
		memset(a,0,sizeof(a));
	}
}A,res;
//矩阵乘法
Matrix operator * (const Matrix &x,const Matrix &y)
{
	Matrix ret;
	for(int i=1;i<=n;i++)
    	for(int j=1;j<=n;j++)
    		for(int t=1;t<=n;t++)
                ret.a[i][j] += x.a[i][t] * y.a[t][j] % mod, ret.a[i][j] %= mod;
    return ret;
} 
//快速幂
void qpow(Matrix a,int b)
{
	Matrix base=a;
	for(int i=1;i<=n;i++) res.a[i][i] = 1;//单位矩阵
	while(b)
	{
		if(b & 1) res=res*base;
		b >>= 1; base=base*base;
	}
}

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1.5 矩阵快速幂的应用

1.5.1

• 运用矩阵快速幂,我们可以快速求斐波那契数列的第 $n$ 项

  题目

• 对于 $f_i$ ,有 $f_i=f_{i-1}+f_{i-2}(i\ge 3)$

• 由于 $\left[\begin{array}{cc}{f}_n& f_{n-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{f}_{n-1}& f_{n-2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{f}_{n-2}& f_{n-3}\end{array}\right]{\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]}^2=....=\left[\begin{array}{cc}{f}_2& f_1\end{array}\right]{\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]}^{n-2}=\left[\begin{array}{cc}1& 1\end{array}\right]{\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]}^{n-2}$

• 用矩阵快速幂求即可,矩阵乘法不具有交换律,注意先将结果乘以 $\left[\begin{array}{cc}1& 1\end{array}\right]$

• 复杂度为 $O(2^3\log n)=O(\log n)$
  代码

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1.5.2

• 变为 $f_i=p\ast f_{i-1}+q\ast f_{i-2},f_1=a_1,f_2=a_2$ 也是同理的

  题目

• $\left[\begin{array}{cc}{f}_n& f_{n-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{f}_{n-1}& f_{n-2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}p& 1\\ q& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{f}_{n-2}& f_{n-3}\end{array}\right]{\left[\begin{array}{cc}p& 1\\ q& 0\end{array}\right]}^2=....=\left[\begin{array}{cc}{f}_2& f_1\end{array}\right]{\left[\begin{array}{cc}p& 1\\ q& 0\end{array}\right]}^{n-2}=\left[\begin{array}{cc}{a}_2& a_1\end{array}\right]{\left[\begin{array}{cc}p& 1\\ q& 0\end{array}\right]}^{n-2}$
  代码

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1.5.3

• 变为 $f_i=f_{i-1}+f_{i-3}$ 时:

  题目

• 由于 $f_i$ 由 $f_{i-1},f_{i-3}$ 转移而来 , 因此对于 $i-1$ 状态一定含有 $f_{i-1},f_{i-3}$ 即 对于 $i$ 一定含有 $f_i,f_{i-2}$ 而此时 $f_{i-2}$ 也需转移 , 因此我们可以考虑使用 $\left[\begin{array}{ccc}{f}_i& f_{i-1}& f_{i-2}\end{array}\right]$ 进行转移

• $\left[\begin{array}{ccc}{f}_n& f_{n-1}& f_{n-2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{f}_{n-1}& f_{n-2}& f_{n-3}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{f}_{n-2}& f_{n-3}& f_{n-4}\end{array}\right]{\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right]}^2=....=\left[\begin{array}{ccc}{f}_3& f_2& f_1\end{array}\right]{\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right]}^{n-3}$
  代码

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1.5.4

• 求 $gcd(f_n,f_m)$

  题目

• $gcd(f_n,f_m)=f(gcd(n,m))$

  代码

以上 1.5.1 至 1.5.4 均为关于斐波那契的应用

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1.5.5

令 $f_i$ 表示经过 $i$ 次从 $A$ 跳回 $A$ 的方案数
令 $g_i$ 表示经过 $i$ 次从 $A$ 跳到 某一个 非 $A$ 位置 $B$ 的方案数

那么我们需要分别转移 $f_i,g_i$

对于 $f_i$ , 上一步一定非 $A$ , 非 $A$ 位置有 $p-1$ 个
那么有 $f_i=g_{i-1}\times (p-1)$

对于 $g_i$ , 可能为 $A$ 到 $B$ , 有 $f_{i-1}$ 种
也可能非 $A$ 位置到 $B$ , 此情况非 $A$ 位置有 $p-2$ 个 , 有 $(p-2)\times g_{i-1}$ 种
因此 : $g_i=f_{i-1}+g_{i-1}\times (p-2)$

$f_i=g_{i-1}\times (p-1)$
$g_i=f_{i-1}+g_{i-1}\times (p-2)$

$\left[\begin{array}{cc}{f}_i& g_i\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{f}_{i-1}& g_{i-1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ p-1& p-2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{f}_{i-2}& g_{i-2}\end{array}\right]{\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ p-1& p-2\end{array}\right]}^2=...$

初始 : $f_0=1,g_0=0$ , 矩阵快速幂即可

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1.5.6

$a^n+b^n=(a^{n-1}+b^{n-1})(a+b)-(a^{n-2}+b^{n-2})ab$

记 $f_n=a^n+b^n$ , $f_n=p\times f_{n-1}-q\times f_{n-2}$

$\left[\begin{array}{cc}{f}_n& f_{n-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{f}_{n-1}& f_{n-2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}p& 1\\ -q& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{f}_{n-2}& f_{n-3}\end{array}\right]{\left[\begin{array}{cc}p& 1\\ -q& 0\end{array}\right]}^2=...$

初始 : $f_1=1,f_0=2$

即转为 1.5.2

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1.5.7

$N$ 个点 $M$ 条边的无重边有向图，点的编号为 $1-N$，边权表示通过这条边所需时间（秒），从 $1$ 出发经过 $S$ 秒后到达 $N$ ，问走法方案数 $N\le 8,M\le 15,S\le 2\times 10^9,边权\le 9$

记 $F_i=\left[\begin{array}{cccc}{f}_1& f_2& ....& f_N\end{array}\right]$ 表示第 $i$ 秒 , 到达 $1-n$ 的方案数

若边权均为 $1$ , 记 $A$ 为邻接矩阵 , 那么 $F_N=F_{N-1}A=...=F_0{A}^n$ , $F_0=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& ....& 0\end{array}\right]$

我们考虑将边权非 $1$ 的转换为 $1$ 的 , 例如 $A\to B$ 边权为 $w$ , 我们将其转化为 $A\to x_1\to x_2\to ...\to x_w\to B$ , 其中 $x$ 为虚点 , 即化为上述情况. 注意虚点空间 , 建 $9\times 15$ 左右

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2.动态dp

动态dp就是一类带修改操作的dp问题

2.1 静态查询最大子段和

题目

• $f_i=max(f_{i-1}+a_i,a_i)$
• 最终结果即为 $max(f_i)$ , 也可以表示为 $an{s}_i=max(an{s}_{i-1},f_i)$

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2.2 静态查询区间最大子段和

题目

• 比较传统的做法是用线段树维护 代码

• 在此提供矩阵做法

• 常规的矩阵：

• $\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}a+2b\\ c+2d\end{array}\right]$

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• 我们定义一种新的矩阵，运算方式如下：
• $\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}max(a+1,b+2)\\ max(c+1,d+2)\end{array}\right]$
• $A:\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right]B:\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right]C:\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$
• $(AB)C=\left[\begin{array}{cc}3& 4\\ 5& 6\end{array}\right]C=\left[\begin{array}{c}5\\ 7\end{array}\right]$
• $A(BC)=A\left[\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}5\\ 7\end{array}\right]$
• 新定义的矩阵同样具有结合律

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• 根据 $f_i=max(f_{i-1}+a_i,a_i)$

• 得 $\left[\begin{array}{c}{f}_i\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{a}_i& a_i\\ -\infty & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{f}_{i-1}\\ 0\end{array}\right]$

• 然而仅仅知道 $f_i$ 的值是不够的，最终结果为 $max(f_i)(L\le i\le R)$ ，我们考虑将 $an{s}_i$ 也加入矩阵, $an{s}_i=max(an{s}_{i-1},f_i),f_i=max(f_{i-1}+a_i,a_i)$

• $\left[\begin{array}{c}an{s}_i\\ f_i\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& a_i& a_i\\ -\infty & a_i& a_i\\ -\infty & -\infty & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}an{s}_{i-1}\\ f_{i-1}\\ 0\end{array}\right]$

• 我们假设 $\left[\begin{array}{ccc}0& a_i& a_i\\ -\infty & a_i& a_i\\ -\infty & -\infty & 0\end{array}\right]$ 为 $A_i$

• 若当前询问区间为 $[L,R]$

• 那么 $\left[\begin{array}{c}an{s}_R\\ f_R\\ 0\end{array}\right]=A_R\left[\begin{array}{c}an{s}_{R-1}\\ f_{R-1}\\ 0\end{array}\right]=A_R{A}_{R-1}\left[\begin{array}{c}an{s}_{R-2}\\ f_{R-2}\\ 0\end{array}\right]=...=A_R{A}_{R-1}{A}_{R-2}...A_{L+1}\left[\begin{array}{c}an{s}_L\\ f_L\\ 0\end{array}\right]$

• 而 $an{s}_L=f_L=a_L$

• 所以$\left[\begin{array}{c}an{s}_L\\ f_L\\ 0\end{array}\right]=A_L\left[\begin{array}{c}-\infty \\ 0\\ 0\end{array}\right]$

• 原式 $=A_R{A}_{R-1}{A}_{R-2}...A_L\left[\begin{array}{c}-\infty \\ 0\\ 0\end{array}\right]$

• 我们只需维护某一区间矩阵的乘积即可，最终结果为 $an{s}_R$ ，可使用线段树维护区间 $A$ 的乘积 ，注意矩阵乘法没有交换律

  代码

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2.3 动态查询区间最大子段和

题目

单点修改

对于传统线段树做法 : 代码

对于矩阵做法 : 代码

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2.4 树上动态查询链上最大子段和

题目

• 根据 2.2 2.3 的思路 , 不难想到用树链剖分转化为线性并用线段树维护

• 查询操作 : 对于一条路径 , 我们将其拆分成若干条重链 , 答案为这条路径上路径上矩阵 $A$ 的积乘以 $\left[\begin{array}{c}-\infty \\ 0\\ 0\end{array}\right]$ 也就是这若干条重链的 $A$ 乘积 ， 注意矩阵乘法的顺序

• 区间修改操作 : 将 $x\to y$ 路径上的所有 $a_i$ 变为 $k$ . 例如对某一区间进行修改 , 那么该区间就变为 ${\left[\begin{array}{ccc}0& k& k\\ -\infty & k& k\\ -\infty & -\infty & 0\end{array}\right]}^b$ 对此若直接使用矩阵快速幂是可以的 , 单次 pushdown 时间复杂度为 $O(3^3\ast \log n)$ , 总时间复杂度为 $O(3^3\ast Q\ast {\log }^{3}n)$.但有更为优秀的做法 : 观察 $A_i^b$ 发现 :
  $a_i\ge 0$ 时 , $A_i^b=\left[\begin{array}{ccc}0& b{a}_i& b{a}_i\\ -\infty & b{a}_i& b{a}_i\\ -\infty & -\infty & 0\end{array}\right]$ ,
  $a_i<0$ 时 , $A_i^b=\left[\begin{array}{ccc}0& a_i& a_i\\ -\infty & b{a}_i& a_i\\ -\infty & -\infty & 0\end{array}\right]$

• 就查询操作而言，时间复杂度便优化到了 $O(3^3\ast {\log }^{2}n)$
  代码(没过)

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3.矩阵进阶

3.1 逆矩阵

对于 $n$ 阶矩阵 $A$ , 若存在 $n$ 阶矩阵 $B$ 使得 $AB=BA=I_n$ , $I_n$ 为 $n$ 阶单位矩阵 , 那么 $A$ 称为可逆矩阵 , $B$ 为 $A$ 的逆矩阵

性质:

1. 逆矩阵是唯一的

   证明 : 若存在不同的矩阵 $B,C$ 使得 $AB=I,AC=I$ , 那么 $AB=AC$ , 则 $B=C$ , 矛盾

2. $(A^{-1}{)}^{-1}=A$

3. 转置矩阵 $A^T$ 表示 $A$ 沿对角线对称的矩阵 , $(A^{-1}{)}^T=(A^T{)}^{-1}$

4. $(AB{)}^{-1}=A^{-1}{B}^{-1}$ 证明 : $AB(AB{)}^{-1}=I$ , $(AB{)}^{-1}=A^{-1}{B}^{-1}$

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3.2 行列式

• 

• 

• 计算过程 : 先写出 $n!$ 项 $1$ 到 $n$ 的全排列 , 然后计算这 $n!$ 项排列中的逆序对 , 然后带入计算得出这一项排列的乘积 (感性理解 : 排列用于确定每一行的列) , 最终加和

例如 :

$det(A)=\left|\begin{array}{ccc}1& 3& 1\\ 2& 1& 3\\ 4& 2& 1\end{array}\right|$

$1,2,3$ : $(-1{)}^0\times a_{11}\times a_{22}\times a_{33}=1$
$1,3,2$ : $(-1{)}^1\times a_{11}\times a_{23}\times a_{32}=-6$
$2,1,3$ : $(-1{)}^1\times a_{12}\times a_{21}\times a_{33}=-6$
$2,3,1$ : $(-1{)}^2\times a_{12}\times a_{23}\times a_{31}=36$
$3,1,2$ : $(-1{)}^2\times a_{13}\times a_{21}\times a_{32}=4$
$3,2,1$ : $(-1{)}^3\times a_{13}\times a_{22}\times a_{31}=-4$

$det(A)=25$

• 性质 :

  1. $A$ 中某一行的数乘以 $k$ , 则 $det(A)\to k\times det(A)$ (每一项排列必定包含该行的某一个数 , 因此每一项排列就都乘以了 $k$ , 因此总和乘以 $k$)

  2. $det(A)=det(A^T)$

  3. $A$ 的两行成比例 , 其行列式值为 $0$ , 以 $2$ 阶行列式为例 : $\left|\begin{array}{cc}a& b\\ ka& kb\end{array}\right|$ , $kab+(-kab)=0$ (两列同理)

4. 将 $A$ 的某两行互换 , $det(A^{\prime })=-det(A)$

   例如 : $det(A)=\left|\begin{array}{ccc}1& 3& 1\\ 2& 1& 3\\ 4& 2& 1\end{array}\right|\to \left|\begin{array}{ccc}4& 2& 1\\ 2& 1& 3\\ 1& 3& 1\end{array}\right|$

   $1,2,3$ : $1\to 4$
   $1,3,2$ : $-6\to -36$
   $2,1,3$ : $-6\to -4$
   $2,3,1$ : $36\to 6$
   $3,1,2$ : $4\to 6$
   $3,2,1$ : $-4\to -1$

   $det(A):25\to -25$

   由于某项排列可以理解为第 $i$ 行的列数 , 如上例中调换 $1,3$ 行相当于将排列中第 $1,3$ 位置调换 , 发现逆序对数量奇偶性一定发生变化

   (两列同理)

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3.3 矩阵的初等变换

矩阵的初等变换 : 矩阵的初等行变换以及列变换