【算法】力扣【动态规划，LCS】1312. 让字符串成为回文串的最少插入次数

1312. 让字符串成为回文串的最少插入次数

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【算法】力扣【动态规划，LCS】1312. 让字符串成为回文串的最少插入次数

题目描述

本文探讨的是力扣（LeetCode）上的第1312题：让字符串成为回文串的最少插入次数。这是一道属于动态规划类别下的困难题目，通常以回文串相关的操作来衡量算法的优化和执行效率。

问题的核心是给定一个字符串s，你可以在任意位置插入任意字符，要求通过最小次数的操作将原字符串转变为回文串。回文串定义为正序与倒序读起来都相同的字符串。

例如：

• 示例 1：
  输入：s = “zzazz”
  输出：0
  **解释：**字符串 “zzazz” 已经是回文串了，因此无需任何插入操作。

• 示例 2：
  输入：s = “mbadm”
  输出：2
  **解释：**字符串可以通过插入字符变为 “mbdadbm” 或 “mdbabdm”，使其成为回文串。

• 示例 3：
  输入：s = “leetcode”
  输出：5
  **解释：**经过插入5个字符后，字符串可以变为 “leetcodocteel”，成为回文串。

提示：

• 1 <= s.length <= 500
• s中所有字符都是小写字母。

解题思路

解决这一问题的关键在于理解回文串的结构特性与最长公共子序列（LCS）之间的联系。对于任意一个字符串，其变换成为回文串所需的最少插入次数可以表示为：

$$\text{最少插入次数}=\text{len}(s)-\text{LPS}(s)$$

其中$\text{len}(s)$是字符串$s$的长度，$\text{LPS}(s)$是$s$的最长回文子序列的长度。

因此，我们的目标转化为寻找给定字符串的最长回文子序列。这可以通过对字符串进行逆序，然后寻找原字符串与逆序字符串的最长公共子序列来实现。如果我们记逆序字符串为$s^{\prime }$，则最长公共子序列可表示为：

$$\text{LCS}(s,s^{\prime })$$

对于字符串