AcWing 1221. 四平方和（二分或哈希）

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文章描述了一种解决数据范围在10^6内的字典序排列abcd的问题，通过限制时间复杂度在O(n)或O(nlogn)内。首先排除了全枚举的解决方案，然后提出枚举c和d，再用哈希表快速查找a和b的方法，以降低时间复杂度到O(n)。给出了使用哈希表的C++代码实现。

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一、题目描述

在这里插入图片描述

二、思路分析

先从时间复杂度的角度入手，这道题的数据范围是10⁶，因此我们的时间复杂度要控制在 $O (n)$ 或者 $O (n l o g n)$ 。

对于abcd中的任何一个元素，必定是小于 $n\sqrt n$ 的。

我们的一个思路就是去枚举，a,b,c,d。但是这样的话，我们就需要4层循环，每层循环是 $n\sqrt n$ 。那么整体就是 $n^2$ 。严重超时。

所以我们不能枚举所有。

由于4者是按照字典序升序排列的。所以我们可以去枚举后面的c和d。这样就是两层循环，时间复杂度就是 $n\sqrt n$ 的。同时，我们将所有枚举到的c和d的和，记录下来。

我们接着去枚举a和b，然后根据枚举的a和b，算出c和d，然后我们看c和d的和是否在上次枚举的时候出现过，如果出现了的话，说明答案合法，反之不合法。

而这个查找计算的c和d的和是否合法的过程可以采用哈希表，当然也可以用二分。

用前者查找的复杂度是 $O (1)$ ，后者查找的复杂度是 $O (l o g n)$ 。

因此，总的时间复杂度就是 $O (n)$ 或者 $O (n l o g n)$

我们这里就写一个时间复杂度低的哈希表的做法。

三、代码

1、哈希表

这里用数组代替一下哈希表，因为数值不是很大。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=5e6+10;
int c[N],d[N];
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    memset(c,-1,sizeof c);
    for(int i=0;i*i<=n;i++)
    {
        for(int j=i;j*j+i*i<=n;j++)
        {
            int cd=j*j+i*i;
            if(c[cd]==-1)
                c[cd]=i,d[cd]=j;
        }
    }
    int a,b;
    for(int i=0;i*i<=n;i++)
    {
        for(int j=i;j*j+i*i<=n;j++)
        {
            int ab=i*i+j*j;
            a=i,b=j;
            int x=n-ab;
            if(c[ab]!=-1&&c[x]!=-1)
            {
                printf("%d %d %d %d",a,b,c[x],d[x]);
                return 0;
            }
        }
    }
    return 0;
}