Floyd算法证明

Floyd 算法证明

void floyd()
{
    for(int k=1;k<=n;k++)
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=n;j++)
                dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k][j]);
}

时间复杂度：$O(n^3)$

中转节点：路径中除去起点和终点的结点。

$dp[i][j]$ ：从 $i$ 到 $j$ 的最短距离

放到针对 $k$ 的循环中，$dp[i][j]$（更新后的）表示的是可经过的中转结点有 $1,\mathrm{2..}k$ 情况下，从 $i$ 到 $j$ 的最短距离。

注意：$dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k][j])$ 中

右边的$dp$是更新前的，左边是更新后的

也就是说，右边的$dp$是的中转结点不包含$k$，仅包含 $1,\mathrm{2..}k-1$

下证状态转移的正确性，即：中转结点加入 $k$ 后，$dp$ 更新只用到中转结点包含 $1,\mathrm{2..}k-1$ 的记录

证明：

在第 $k$ 轮更新中，最优的路径存在以下两种情况：

• 中转结点不包括 $k$ (对应不更新)

• 中转结点包括 $k$ （对应更新)

​ 如果经过 $k$ ,也只会经过一次，因为如果重复经过，则两次经过 $k$ 中间经过的所有点都可以去掉（相当于兜圈子）

​ 这意味着这种情况新的路径可以分为 $i$ 到 $k$ 和 $k$ 到 $j$ 两段路径，而这两段路径的中转结点只可能包含 $1,\mathrm{2..}k-1$ 结点

​ 即可用 $dp[i][k]+dp[k][j]$ 表示